大春你要记住，你和别人不一样，不要把时间浪费在数学上

因为下士闻道而大笑之。

只要能接受偶数数量跟自然数一样多，复制一个球怎么了

已阅。

是这样的，Banach-Tarski悖论确实是很反直觉的一个命题，以至于有很多人不承认选择公理。

你也可以选择不承认。

但是不要自己看不懂就认为所谓“严谨”是一个笑话，也不要把科普当成证明语言与证明过程。

我经常说一句话，就是数学的门外汉是所有学科里离门最远的

感谢你给我脸上带来的笑容。

虽然我笑的东西，和你笑的东西，不太一样。

但还是真诚的感谢你。

尤其是打开你的个人主页之后，

我笑得更灿烂了。

我不知道你说的“分球悖论”是不是Banach-Tarski悖论。看得出来，你是"真激愤“。

每个人兴趣导向和能力优势都不一样。初等教育必须包括数学内容，这是行政管理部门规定的，如果有异议，理论上每个公民有权利通过适当渠道表达自己的意见，但规定没改之前，每个守法公民（或其未成年子女）还得遵守。

类似Banach-Tarski悖论这样的内容并不在义务教育范围内。既然你看了这么激愤，我不太理解你为什么非要去看。

中国有句古话：酒逢知己千杯少，话不投机半句多。别自找烦恼就行了，这世上（在合法范围内）那么多事可干，用一句广告词：“总有一款适于你。”

我不希望以后再有类似的问题邀请到我。

大家都好有耐心，还有认真解释数学的答主，让我感受到了互联网的善意和知乎的遗风。。。

然而对于这种遇到自己不懂的东西第一反应不是弄懂而是直接开始质疑并且面对各位答主批评还油盐不进的人，我们其实已经可以得出结论：这人就是来找喷的。

以上。

因为你的常识和直觉仅仅是在有限的范围。我想多数人应该都是这样的，因为生活中认识到的的“集合”一般都是有限的。

通过初等运算和一点点抽象思维可以认识到可数集（即一个一个向集合中加入新的元素），因此这也还算是易于添加到常识里。

开集、闭集在几何上是直观的。进而通过一些直观的几何上的操作可以认识到Borel集。

但Borel集基本是可以凭借常识在脑海里构造的全部集合了。也就是说一般可以想象到的集合全部都是可测的。

但是这个分球问题必然涉及到不可测集（如果是可测集，就不会变成2个球）。因此出现一些与常识相悖的情况很正常。涉及到不可测集以后，这种操作已经超过常识的范畴了。

有一些数学家大概也觉得分球问题比较荒谬，他们选择了否认这个构造中不可测集的存在性。但是这个构造是通过选择公理来做的，而从常识来看选择公理却是很明显成立的。

只能说涉及到不可测集，涉及到无穷、并且是连续统程度的无穷以后，很多事情都变得不一样了。

谢谢你，最近看数论看得怀疑自我，看了你的提问我觉得我还是蛮聪明的

当一个人看到自己不懂的东西第一反应是嘲笑而不是学习时，他这辈子在一定程度上就已经过完了，因为后面的人生只不过是过去的人生的重复

知乎你再给我推这种东西我分分钟卸载。能不能让版主把这问题删掉？

出现了！不承认选择公理的异端！

（手动狗头）

因为数学研究到后面必须要用极端严谨的语言刻画才能确保研究顺利进行下去，否则当体量足够大时几乎必然会产生错误，从而影响后续的研究。比如人类几千年前就知道1+1=2，但是直到近代才建立严格的公理体系(皮亚诺公理)，严格给出1+1=2的结论。

古典时期的数学家们就犯过这种错误，所以经常出错，产生各种反例，直到公理化思想的广泛传播，数学研究才开始枝繁叶茂

我先不说数学的事，来讲一讲我小时候的一些事吧。

从我家沿着去幼儿园的反方向走，走大概十分钟左右就到了一个小公园。小公园里有秋千，秋千的旁边有跷跷板，跷跷板的对面是一个可以旋转的球形的笼状东西，人可以进去然后被外面的人推着转，我到现在都不知道那叫什么。再往旁边走可以看到一个船形的荡来荡去的设施，我问爸爸妈妈那是什么，他们的回答在我听起来是“海到船”。

所以我从小就知道，公园在幼儿园反方向，公园有秋千，秋千的旁边有跷跷板，跷跷板的对面是“那个大球球”，“大球球”再旁边是“海到船”。

这时候，如果有一个从外县搬过来的小孩问我“你知道跷跷板在哪儿吗”，我多半会说“跷跷板在秋千旁边，在大球球对面”。但是那个小孩肯定不知道我说的这些都是在我最熟悉的小公园里，当然也不知道（甚至不会想到去问）小公园在什么地方。如果他接下来去幼儿园的秋千旁边，没有找到跷跷板，更没有什么对面的“大球球”，他会不会觉得我可笑、觉得我故意不说人话呢？

后来我上了小学。学校组织去游乐园的时候，我听说游乐园里也有“海到船”，就上去坐了一下，却没想到那完全不像是小公园里生了锈的慢慢悠悠摇晃的“海到船”，而是正经的带有动力、非要系安全带不可的游乐园海盗船。我被晃到七荤八素从上面走下来的时候，会不会觉得爸爸妈妈可笑、觉得他们故意不说人话呢？

会觉得数学“不说人话”，一般有两方面的原因：其一，不熟悉数学发展过程中走过的道路，不明白为什么会到达这个在秋千和“大球球”之间的跷跷板；其二，只见过或者听说过同一类事物中最常见的，就误以为海盗船就只是自己见过的那种东西。

随着我长大，经验逐渐丰富，就能在遇到第一种情况的时候问一句“你说的这个跷跷板在哪里，要怎么走才能到”，遇到第二种情况的时候问一句“我坐过的‘海到船’是很小很慢的，这里的也一样吗”，这样就可以尽量回避（但也做不到完全回避）这两个问题了。

不过如果这时候我再看到一个介于科普号和营销号之间的号故意表现出小孩心智说“居然还有人不知道跷跷板在大球球对面！”，那我倒是真的会觉得这个号（而不是跷跷板或者“大球球”）可笑了，毕竟我现在已经对跷跷板了解很多了，不至于以为这些号说的就是跷跷板实际上一直该有的样子。

虽然我还是不知道“大球球”叫什么。

大春我告诉你，你和别人不一样，千万不要把时间浪费在学习上.

你玩原神吗

“数学为什么看起来那么难，就是有些人不说人话，美名其严谨。”

因为人话（或者说自然语言）不严谨，所以才需要为了严谨不说人话

谢谢你给正在学习拓扑的我带来欢乐

我们大多数人看到“类人”两个字，不会想到什么“写作新类人”，而是想到“不是人，而近似人”。

从这个角度说，你为自己取的名字还是很恰当的，也恰好说明了理解数学这么困难的原因。

因为大多数人，包括非数学专业的本科毕业生，接触的数学都不是非常严谨的数学，大学如此，中学就更不必说了，其中的证明更偏向于直观理解，偏应用层面。如果让数学专业的学生来找这些证明的漏洞，那是很多的，这些证明里面用了很多明显的直觉概念。

分球悖论这种定理的证明，需要用到严格的数学分析的工具，没有受过训练的人是看不懂的，如果想用科普的方法说明不是不可以，但是会省略掉其中涉及无限集合具体操作和性质的东西，导致你知道是怎么回事，但是你还是不知道为何会这样，只有通过严格的数学语言才能解释清楚。

希尔伯特旅馆听过吧，这个是对无限集合特性的科普，同样不借助数学描述，我可以肯定，90%的人是不认同这种口头的论证的，无限多的房间都住满了，我们让1号房挪到2号房，2号房挪到3号房，以此类推，第一间房就空出来了，就这一步，普通人就认为不可能，因为你想啊，1号挪2号，那得先2号房空出来，2号就得挪，那么3号也得挪，以此类推，所有房间的人都在等后面号的人挪了才能挪，因为房间是无限的，所以大家都在等，还怎么挪？你看是不是靠直觉是无法论证的？这就是科普省略掉的部分，现实中做不到，数学中可以做到，涉及到两个集合的一对一映射操作，即便对应无限集合，这个操作也是可以完成的。在数学中写为 \mathbb {Z}\rightarrow\mathbb {Z}\ ; x\rightarrow x+1 这个映射，瞬间把所有的 x 都映射为了 x+1 ，简单明了，大家都认可这个操作。

对于分球悖论，其实你也没必要弄懂，看看数学上的一个观念，奇数集合的元素个数和整数集合的元素一样多，因为两个集合的元素可以做到一一对应。如果每个数字都有相同质量，那么奇数的质量和整数质量一样，因为奇数集合只是整数集合的子集，这意味着部分元素的质量和所有元素的质量相等，这妥妥的打破了质量守恒定律啊。这样来看，分球悖论是必然的，因为数学上的无限，现实中不存在嘛。

分球悖论，也被称为巴拿赫-塔斯基悖论，是一条经过严格证明的数学定理。这个定理描述为：一个三维实心球，必定存在一种办法分成有限部分，然后仅仅通过旋转和平移，就可以组成两个和原来完全相同的球（半径相同，密度相同……所有性质都相同。这个定理基于“选择公理”严格地推导出来。

这个定理看起来非常反常识，因为我们通常认为物体的体积在没有拉伸或压缩的情况下应该是不变的。然而，这个定理却表明，在数学的世界里，我们可以通过一种特殊的方式将一个球分解并重组为两个与原球完全相同的球。

这个定理的证明涉及到了一些复杂的数学概念，包括群论和集合论。这可能是为什么你觉得有些解释看起来“乱七八糟”的原因。实际上，这些解释试图用简单的语言来描述一些非常深奥的数学概念。

至于你提到的视频，我无法直接查看或评论它的内容。但是，如果视频是关于分球悖论的，那么它可能试图以直观的方式解释这个复杂的数学概念。

数学确实有时候会显得很难，特别是当我们试图理解一些深奥的概念时。但是，这并不意味着数学家们“不说人话”。相反，他们在努力寻找一种既准确又易于理解的方式来解释这些复杂的概念。这就是为什么他们会强调严谨性，因为在数学中，严谨性是非常重要的。只有通过严谨的证明，我们才能确保我们的理解是正确的。

希望这个解释能帮助你更好地理解分球悖论和数学的严谨性。如果你还有其他问题，欢迎随时向我提问！

我第一次见到有人拿可笑形容数学的。

只要通过f(x)=2x，就有（0,1）中每个元素到（0,2）中每个元素的一一映射，是不是很神奇。再给你讲个更神奇的，(0,1)和[0,1]也有一一映射，大春，你可以试着想一下。

？为什么会邀请我，哥们就是数学系的啊

不过有点好奇题主说的乱七八糟的内容是啥，不会是倒过来的A和侧过来的E吧

破案了，帆船来的

井蛙不可语于海者，拘于虚也；

夏虫不可语于冰者，笃于时也；

曲士不可语于道者，束于教也。

尽管题主认为Banach和Tarski不会讲人话，但是想来应该不会否认庄子会讲人话吧！

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类人群星闪耀时

请选择你的数学哲学

1. 数学是一套人类设计的符号语言体系，本身不存在任何现实意义。
2. 数学是某种宇宙中客观存在的抽象系统，我们的数学公理是对这套系统的近似
3. 管你听没听懂，吃我重整化啦！

无穷集是这样的，不要用有限集去揣测无穷集。

任何一个有限集都不能与它的一个真子集建立一一对映的关系，但是无穷集是可以的。

比如自然数和偶数可以存在一一对映的关系，所以这两个集合可以看做是一样大。

一旦涉及到无穷集，很容易出现反直觉的悖论。