因为大多数人,包括非数学专业的本科毕业生,接触的数学都不是非常严谨的数学,大学如此,中学就更不必说了,其中的证明更偏向于直观理解,偏应用层面。如果让数学专业的学生来找这些证明的漏洞,那是很多的,这些证明里面用了很多明显的直觉概念。
分球悖论这种定理的证明,需要用到严格的数学分析的工具,没有受过训练的人是看不懂的,如果想用科普的方法说明不是不可以,但是会省略掉其中涉及无限集合具体操作和性质的东西,导致你知道是怎么回事,但是你还是不知道为何会这样,只有通过严格的数学语言才能解释清楚。
希尔伯特旅馆听过吧,这个是对无限集合特性的科普,同样不借助数学描述,我可以肯定,90%的人是不认同这种口头的论证的,无限多的房间都住满了,我们让1号房挪到2号房,2号房挪到3号房,以此类推,第一间房就空出来了,就这一步,普通人就认为不可能,因为你想啊,1号挪2号,那得先2号房空出来,2号就得挪,那么3号也得挪,以此类推,所有房间的人都在等后面号的人挪了才能挪,因为房间是无限的,所以大家都在等,还怎么挪?你看是不是靠直觉是无法论证的?这就是科普省略掉的部分,现实中做不到,数学中可以做到,涉及到两个集合的一对一映射操作,即便对应无限集合,这个操作也是可以完成的。在数学中写为 \mathbb {Z}\rightarrow\mathbb {Z}\ ; x\rightarrow x+1 这个映射,瞬间把所有的 x 都映射为了 x+1 ,简单明了,大家都认可这个操作。
对于分球悖论,其实你也没必要弄懂,看看数学上的一个观念,奇数集合的元素个数和整数集合的元素一样多,因为两个集合的元素可以做到一一对应。如果每个数字都有相同质量,那么奇数的质量和整数质量一样,因为奇数集合只是整数集合的子集,这意味着部分元素的质量和所有元素的质量相等,这妥妥的打破了质量守恒定律啊。这样来看,分球悖论是必然的,因为数学上的无限,现实中不存在嘛。