首先，antiunitary symmetry拓扑分类更加基本，若系统没有unitary symmetry，则必然落到 @拉格朗日的学生 dl回答提到的按照“是否有 \mathcal{T},\,\mathcal{C},\,\mathcal{S}对称性”以及“ \mathcal{T}^2,\,\mathcal{C}^2,\,(\mathcal{C}\mathcal{T})^2 = \pm 1 ”分类的AZ 10-fold classification中，即使什么对称性都没有也可以归入A类；而若系统有unitary对称性，我们总可以将系统按照unitary对称算符的本征值，把哈密顿量块对角化，此时每个块不在具有unitary对称性，若还有其他对称性则进一步块对角化，直到没有unitary对称性为止。分析这些块的对称性对应的SPT（Symmetry Protected Topology）便只剩下antiunitary symmetry保护的拓扑。此时，我们并非不关心其他unitary对称性及其保护的拓扑，只是存在先后处理的区别，因为我们总可以先处理antiunitary symmetry的拓扑分类（即使什么对称性也没有），再处理unitary symmetry的拓扑分类。例如我们先关心time-reversal、chiral、particle-hole symmetry分出的拓扑绝缘体/陈绝缘体/拓扑超导体，再关心translation、inversion、mirror等symmetry进一步细分出的不同拓扑晶体绝缘体分类。

另一方面，时间反演对称性、手征对称性和粒子空穴对称性这三种antiunitary对称性对应的拓扑分类也更加robust，因为他们不需要其他晶格对称性（unitary对称性）的保护、在有（不破坏对应对称性的）disorder系统中仍然成立。

例如，虽然我们经常在能带系统中计算Chern Insulator robust的Hall conductivity、chiral edge state等性质，但即使没有晶格甚至是杂乱的系统，也能够有对应的拓扑分类。类似的，即使是杂乱无章的系统，只要没有破坏时间反演对称性的杂质（磁性掺杂），系统仍然有robust的 \mathbb{Z}_2 classification和 helical edge state。

相比之下，依靠unitary对称性保护的拓扑分类，例如镜面对称性（Mirror Symmetry）系统中按照Mirror Chern number分类的Mirror Chern Insulator，需要在系统体态满足特定空间对称性的情况下才是robust的；再比如weak TI也需要空间平移对称性的保护。而且，我们关心的边缘态只能在保持相应对称性的边界才能观测到，这样，在拓扑晶体绝缘体中我们detect边缘态还要考虑该边缘是否保持了系统的镜面对称性、空间对称性等等因素，相比之下，antiunitary symmetry因为不涉及空间对称性，边界更不容易破坏该对称性，这也从另一角度体现了antiunitary对称性对应的10-fold classification相比拓扑晶体绝缘体看起来更加robust的特点。

参考文献

[1] Sakurai, J. J., & Commins, E. D. (1995). Modern quantum mechanics, revised edition.

[2] Chiu, C. K., Teo, J. C., Schnyder, A. P., & Ryu, S. (2016). Classification of topological quantum matter with symmetries.Reviews of Modern Physics,88(3), 035005.

[3] Ryu, S., Schnyder, A. P., Furusaki, A., & Ludwig, A. W. (2010). Topological insulators and superconductors: tenfold way and dimensional hierarchy.New Journal of Physics,12(6), 065010.

[4] Altland, A., & Zirnbauer, M. R. (1997). Nonstandard symmetry classes in mesoscopic normal-superconducting hybrid structures.Physical Review B,55(2), 1142.

[5] Qing-Rui Wang - Teachings - TQM

AZ 十重分类是利用Cartan's thoery[1]对有对称性的厄米矩阵的一种分类手段。这个分类手段只是有的时候对应了真实的物理情况。在原文^[2][3]中，AZ认为自旋反射（C)， 时间反演(T) ，和电荷对称性更基本，而空间对称性是额外的,他们会被哪怕是淬灭的无序破坏。

为什么有三个对称性作为分类标准？这很好理解。任意的写下一个费米子的自由二次模型，它可以被四个马脚若拉实算符展开，因此它具有对称性 $O(4)$O(4) ， $O(4)$O(4) 中有三个 $Z_2$Z_2 ，自然就可以拿出来做分类了。 $O(4)/Z_2\simeq SU(2) \times SU(2)$O(4)/Z_2\simeq SU(2) \times SU(2) , $SU(2)/Z_2\simeq SO(3)$SU(2)/Z_2\simeq SO(3) 。从这里的群代数来看，有一些算术冗余（看定义），因此只有十个分类指标。

分类厄米矩阵（单体哈密顿量）不代表正确的分类了真实系统的基态多体波函数。比如打破了粒子空穴对称之后，系统有没有带电(有没有和电磁场耦合），对系统的拓扑性质影响很大^[4]。比如这里讲的超导体（打破了电荷对称性的哈密顿量）就不描述真实的超导体^[4]，而是更加恰当的描述了不带电的He3超流体。

参考

1. ^https://en.wikipedia.org/wiki/Symmetric_space
2. ^https://journals.aps.org/prb/pdf/10.1103/PhysRevB.55.1142
3. ^https://arxiv.org/pdf/cond-mat/0006362.pdf
4. ^^abhttps://arxiv.org/abs/cond-mat/0404327

(5) TMS18.L1. Alexander Altland. Topological matter classification (I). - YouTube

看起来是这样一个逻辑，我们依据anti-unitary的symmetry给哈密顿量分类：

1.存在 T-symmetry, 且 T^2=1 ；存在 T-symmetry, 且 T^2=-1 ; 不存在 T-symmetry

定义：其中T 是一个anti-unitary的symmetry,并且 THT^{-1 }=H

2. 存在 C-symmetry, 且 C^2=1 ;存在C-symmetry, 且 C^2=-1 ;不存在C-symmetry

定义：其中 C是一个anti-unitary的symmetry,并且 CHC^{-1}=-H

上面总共有9种可能，另外定义S-symmetry (chiral symmetry), S=TC，显而易见的S是一个unitary的symmetry, 并且 SHS^{-1}=-H ,当T-symmetry和C-symmetry都不存在的时候，S可能存在（那就是存在一个unitary symmetry S，让 SHS^{-1}=-H ），也可能不存在。

总共十种 （错了求轻喷，这是我理解的视频里面的内容。）