瞎扯求轻喷。
题主咨询了“拓扑物态AZ十重分类”，姑且把讨论范围限定在无相互作用的、有能隙的、费米子体系（其他不会，蹲dl）。
首先，量子系统的对称性可以大致分成unitary和antiunitary两大类。
其依据可以是严谨的Wigner's Symmetry Representation Theorem：对称操作在Hilbert Space中的群表示是linear unitary变换或antilinear antiunitary变换；
也可以naive的认为对称操作 |\alpha\rangle \rightarrow|\tilde{\alpha}\rangle, \quad|\beta\rangle \rightarrow|\tilde{\beta}\rangle ，应当保证观测的probability |\langle \alpha|\beta\rangle |^2 = |\langle \tilde\alpha|\tilde\beta\rangle |^2 不变，这可以是内积不变 \langle \alpha|\beta\rangle = \langle \tilde\alpha|\tilde\beta\rangle ，对应unitary对称变换；也可以是 \langle\tilde{\beta} \mid \tilde{\alpha}\rangle=\langle\beta \mid \alpha\rangle^*=\langle\alpha \mid \beta\rangle ，对应antiunitary对称变换。
其中时间反演对称性 \mathcal{T} 、粒子空穴（电荷共轭）对称性 \mathcal{C} 、手征对称性 \mathcal{S} \equiv \mathcal{C} \mathcal{T} 这三个对称性便属于后者，即antiunitary 及其衍生出的对称性（因为手征对称性并非antiunitary而是两个antiunitary复合而成的unitary），这也是这三种对称性更特殊的原因（更严格地说是这三种对称性在单体Hamiltonian空间中与单体Hamiltonian不对易性）。题文中的将其特殊性归类为离散对称性的说法不够specific，因为离散对称性还包括空间平移、旋转、反演等等空间群点群变换操作。这些对称性虽然也能用于对系统进行拓扑分类，进而衍生出拓扑晶体绝缘体（Topological Crystalline Insulator）等更复杂的分类，但他们的地位没有时间反演对称性、手征对称性和粒子空穴对称性这三个对称性衍生出的AZ 10-fold Classification重要。
首先，antiunitary symmetry拓扑分类更加基本，若系统没有unitary symmetry，则必然落到 @拉格朗日的学生 dl回答提到的按照“是否有 \mathcal{T},\,\mathcal{C},\,\mathcal{S}对称性”以及“ \mathcal{T}^2,\,\mathcal{C}^2,\,(\mathcal{C}\mathcal{T})^2 = \pm 1 ”分类的AZ 10-fold classification中，即使什么对称性都没有也可以归入A类；而若系统有unitary对称性，我们总可以将系统按照unitary对称算符的本征值，把哈密顿量块对角化，此时每个块不在具有unitary对称性，若还有其他对称性则进一步块对角化，直到没有unitary对称性为止。分析这些块的对称性对应的SPT（Symmetry Protected Topology）便只剩下antiunitary symmetry保护的拓扑。此时，我们并非不关心其他unitary对称性及其保护的拓扑，只是存在先后处理的区别，因为我们总可以先处理antiunitary symmetry的拓扑分类（即使什么对称性也没有），再处理unitary symmetry的拓扑分类。例如我们先关心time-reversal、chiral、particle-hole symmetry分出的拓扑绝缘体/陈绝缘体/拓扑超导体，再关心translation、inversion、mirror等symmetry进一步细分出的不同拓扑晶体绝缘体分类。
另一方面，时间反演对称性、手征对称性和粒子空穴对称性这三种antiunitary对称性对应的拓扑分类也更加robust，因为他们不需要其他晶格对称性（unitary对称性）的保护、在有（不破坏对应对称性的）disorder系统中仍然成立。
例如，虽然我们经常在能带系统中计算Chern Insulator robust的Hall conductivity、chiral edge state等性质，但即使没有晶格甚至是杂乱的系统，也能够有对应的拓扑分类。类似的，即使是杂乱无章的系统，只要没有破坏时间反演对称性的杂质（磁性掺杂），系统仍然有robust的 \mathbb{Z}_2 classification和 helical edge state。
相比之下，依靠unitary对称性保护的拓扑分类，例如镜面对称性（Mirror Symmetry）系统中按照Mirror Chern number分类的Mirror Chern Insulator，需要在系统体态满足特定空间对称性的情况下才是robust的；再比如weak TI也需要空间平移对称性的保护。而且，我们关心的边缘态只能在保持相应对称性的边界才能观测到，这样，在拓扑晶体绝缘体中我们detect边缘态还要考虑该边缘是否保持了系统的镜面对称性、空间对称性等等因素，相比之下，antiunitary symmetry因为不涉及空间对称性，边界更不容易破坏该对称性，这也从另一角度体现了antiunitary对称性对应的10-fold classification相比拓扑晶体绝缘体看起来更加robust的特点。
参考文献
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[2] Chiu, C. K., Teo, J. C., Schnyder, A. P., & Ryu, S. (2016). Classification of topological quantum matter with symmetries.Reviews of Modern Physics,88(3), 035005.
[3] Ryu, S., Schnyder, A. P., Furusaki, A., & Ludwig, A. W. (2010). Topological insulators and superconductors: tenfold way and dimensional hierarchy.New Journal of Physics,12(6), 065010.
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