这说明谁都逃不开信息茧房，古来帝王如此，大科学家也如此。

钱学森周围同事，最差也是院士，学生最差也是清北，他的夫人蒋英，是号称文武双全百科全书式名将蒋百里的爱女，她有个不争气的表弟想巴结钱学森夫妇，还一直都巴结不上。

这个表弟叫金庸。

钱学森嘴里的笨人，和咱们嘴里的笨人不是同一类生物。

钱老之所以会这么觉得，是因为他没碰到我，他碰到了我，只会感叹进化论的伟大，竟有长的和人类一模一样的猴子

冷知识：被钱老骂笨的那位学生是中科院力学所的副所长

知乎的各位在钱老眼里估计就是睡蕉小猴水平，吃完香蕉就睡觉，快快乐乐没烦恼

最近我深入的研究了微积分、线性代数和高等数学，发现“微积分”都是一声“线性代数”都是四声“高等数学”四声都有，数学真奇妙。

我爱人以前在华大基因工作，她的主任是个女的，14岁就考上清华，能力特别强，但脾气很差，对人有些苛刻。

今天转一篇文章，作者好像是剑桥的。我第一次读的时候，立刻想起了她那个主任。

前天晚上，我的第一审稿人（其实就是我爱人）突然问我，引力波都火成那样了，你作为一个理工科宅男就不想写点什么吗？

我只能汗颜。引力波是理论物理领域的高深学问，我确实是不懂啊。

世上就是有这么一些专业，会让人深刻意识到个体间智力上的差距，理论物理就是其中最具代表性的一个。

和绝大多数清华学生一样，原本我是不惧怕物理的，所以本科入学那年看到必修课里有个A类高等物理，我并不以为意——直到拿到人生第一张不及格的物理考卷。更让我无法接受的是，在这场平均分不到50的考试中，竟然有个人拿了90分。知耻而后勇，之后我刻苦攻读，终于将高等物理的综合成绩提升到85分。然而，土狼追赶飞鹰是不会有结果的：那个大牛拿了98。

经常听到名校学生的家长这么教育子女说：你们都是千里挑一的天之骄子，他能做到的，你也一定能做到。依愚见，这真的只是一厢情愿。话说， 人类智力是呈正态分布的，千里挑一从字面上讲就是高于平均值3个标准差以上的高智商人群。

这个人群既包含智商恰好卡着3个标准差（145左右智商）的普通幸运儿，也可能包含着高达6个标准差（190左右智商）的超级幸运儿，非要让前者去企及后者的成就或许就有点强人所难了。简而言之，清华北大之类的名校是个体智力差距（统计学上应该叫极差）最大的地方，绝非通常大家所想象的“伯仲之间”。

之所以要讲大学的陈年旧事，只是想提示一下，怎么样的人才能在理论物理领域有所建树。比如这次引力波实验中，加州理工团队里有一个原清华基科班的大牛，名叫杨桓，此人中学时代便是国际物理奥林匹克竞赛金牌得主。听闻过他的轶事，其神奇程度或在98分大牛之上。几十上百个这种等级的大牛组成了LIGO引力波项目团队，只是为了验证爱因斯坦一百年前的论断，说白了就是打了个下手。以我的短浅见识，遥望杨桓已然是个极限，实在无力想象爱因斯坦的境界。

那么理论物理究竟想解决些什么课题呢？中学时代，物理老师通常会告诉我们，在宏观低速条件下，我们应该使用牛顿力学；微观下应该使用量子力学；高速时应该使用相对论。但是理论物理学家会觉得此类观点非常没有美感，完全不是他们心目中世界本原的面貌。自爱因斯坦起，几乎每个有理想有追求的理论物理学家，不管是搞天体的还是搞统计的，都梦想建立大统一理论，即将所有物理现象归纳于同一模型的理论。这个理论还有一个很大气的名字，叫做万物之理----The Theory Of Everything（对，就是霍金那部电影）。 在这个框架下，四种基本力和所有粒子都应该有一个符合物理美学的统一数学表达。

那我们要用怎样的方法找到这个万物之理呢？

话说，世界上所有科学，其起点和终点都是“经验（experience）”。比如，因为我们对光有感性认识，于是就会去研究光学，而我们的最终目的是将光应用于生产实践。至于光学理论的研究过程，我们则会诉诸“理性（reason）”，即通过逻辑推演找到一个能完美解释经验现象的机理。此类理论的构建过程相对简单，因为我们对光有充分的感性认识，而现实“经验”通常能很好的引导 “理性”找到正确的方向。

我们回头看看相对论：“没有发现以太”或许算是“经验的起点”，星际旅行或许算是“经验的终点”，然后剩下的就只有大篇的“理性”推导了。从平常人的角度来看，无论是“以太”还是星际旅行，都是完全没有感性依附的虚构“经验”，在这种情况下怎样指导“理性”去找到正确的研究方向呢？

且看爱因斯坦是怎么做的。在构建相对论大厦时，爱因斯坦只用了两根柱子：1. 光速不变 2. 在不同惯性参考系中，一切物理规律相同。基于这两个假设，爱因斯坦仅仅依靠逻辑和数学便创立了相对论。这个工作的难度有多大呢？打个比方，狭义相对论那几个短短的结论公式大家多半是见过的，为了论证它们，爱因斯坦用了68页篇幅（包括前言）。爱因斯坦坚信，宇宙的规则体现在简明的数学关系中，这种简单美学将指引物理学家穿越冗长的推导，走向真理。

现在，简明的真理也给了自媒体一丝博取眼球的机会。为了让没有理论物理基础的大众能够“看懂”高深的科学，公众号们纷纷抛出“XX分钟看懂XXX”的噱头。然而，这些“鸡汤科学”注定只能是一知半解。还是拿相对论为例：狭义相对论研究的是四维空间中的物理规则（多了一个时间维度），是不能用简单的三维空间几何关系进行推演的。但是由于公式本身形式简单，用几何模型牵强附会并没有什么难度，以至于各种“科普读物”争相解（wu）读（du）。事实上，严密的狭义相对论推导必须用到洛伦茨变换，我们可以从《狭义和广义相对论》里随便抽出两页看看爱因斯坦是怎么做的。

上面这页数学推导并不是特别吓人，但是一本160页的著作全篇都是这种东西，就足以把人逼疯了。当然，最应该叹服的是爱因斯坦，他必须在前无古人的纯粹数学推导中，凭借直觉和想象力引导自己走向真理。

这里我提到了想象力。现在的理论物理学，特别是万物之理的研究，很大程度上是在想象力的基础上构建起来的。在这个领域中，研究的起点和终点都是“虚无”的，没有任何感性经验的支撑。物理学家需要在已有数据的基础上想象出一个模型，用强大的数学工具将它构筑成自洽的理论大厦，之后设计实验论证它的正确性。然而，由于实验手段的匮乏，目前有好几个理论都处于自洽但无法证实的窘境。在这里我要引用柯南同学的一句话：真相永远只有一个。虽然有N个自洽理论，但其中至少有N-1个是错误的。

如此看来，爱因斯坦是非常幸运的，因为引力波终究被证实了——虽然花了一百年。

大家或许好奇，这所谓的理论大厦究竟长什么样呢？趁着引力波的热度，不妨把一百年前爱因斯坦的《论引力波》拿出来给大家鉴赏。

通篇十几页除了短短的前言和结论，其余都是这种天书。然而，引力波无非只是相对论大厦的一隅。

爱因斯坦仅仅依靠两个基本假设，就构筑了如此辉煌的理论殿堂，这是理性的力量。事实上人类两千年前就已经掌握了这种神奇力量，那时候它叫欧几里得几何学。基于5条简单公理，古希腊人成功构筑了一个逻辑严密的理性大厦。几何和理论物理在本质上有如此相似的特征，以至我们可以说：一个人如果小时候不痴迷几何学，就肯定不是做理论物理的料。这句话听起来很欠揍，不过好在是爱因斯坦说的，不是Sheldon Cooper，也不是愚见。

然而放在当下来看，爱因斯坦这句话颇有点可笑——理论物理根本就不是块香馍馍，干不了这行对我们而言完全不是什么损失。以LIGO引力波项目为例，参与者通常连续数年呆在方圆几千平方公里的无人区，干着最具有挑战性的工作，生产着最有价值的科技副产品，承受着放射性伤害的风险，却拿着相当微薄的报酬。以前面提到的杨桓为例，凭他的数学能力，随便在华尔街找个投行就能让他的薪酬翻上数翻。

但是他坚定地选择了科学。

抛开我对科学家素来的敬仰，我仍然觉得，他们才是人类的希望。

那个年代的知识分子，主要是理工科知识分子，是普遍有一种“洋人会得我中国人也一样会得”or“老爷会得我佃户一样会得”的心气的。他有一种迫切地想要证实自己所处的阶层or族群不比其他阶层or族群差的情绪诉求。这时候他自然而然会把“所有人都学的会”当做一种底层信念。他把自己视作了一个原本不被认为有理性的科学能力的群体代表，他自己学会这些，不仅仅是证明自己很强，更是证明了这个群体并不差劲。你让他承认“就是有人学不会微积分”，会唤醒他们小时候的歧视ptsd

这个时候，他看不到个体间的差异，就是很正常的一种情绪反应和人生经验。因为那个年代的群体间差异被夸张放大了，这属于一种矫枉过正。

我家族里有一个远房长辈，是当年石油会战时候的钻井工程师，一入学，才上了两个月的课，就被拉去组建团队负责设计研发了。都是啥也不会啥也不知道就那么硬上。这种人一辈子的经验就是——我什么苦出身，我那时候连像样的教材都没有，我都学的会，你有什么学不会的？

钱老要是知道现在国家卡脖子的半导体技术，被一群本科微积分20多分的学阀团队把持着

估计可以气的活过来

不是段子。我知道CAS某京所，研究这个方向大牛团队，都在捧一个微积分20多分的嫡系，言语中大有让这个人带领国家走出卡脖子困境希望之意

哦，忘说了，这人期末20多分补考还是我辅导他过的

然后在你们学阀这里被逼着按头承认他是天才，我不配研究

行，我不配，现在欧洲这个方向全奖PhD美美到手，祝你们卡脖子科研方向好运

乔丹：

突破很简单的，你第一步要快一点，就过掉第一个人，然后直接跳起来挤开对面中锋，就可以扣篮了。

突破后有人补防？好说，来个换手上篮，两分就到手了。

有时候内线人太多怎么办？你就拉个两三次杆。等他们落地再出手，又是两分。

这么来几次，对面就不敢太贴着你，你就直接跳起来投篮，又是两分。

你说对面身高臂长？笨，那你就多后仰一点，投篮弧线高一点，这不就空心入樽了？

得分王也很简单，一节这么来两次突破，进两个中投，不就8分了吗？

每节这么重复一下就是32分，就拿到得分王了。

好了，你已经学会很多进攻技巧了，现在去NBA，试着拿下两次三连冠吧。

这个问题下，所有回答都在论证是不是人都能学会微积分，或者论证，钱老还是没见过学渣，就是有人学不会等等。

但是

没有人问一句钱老真的说过这个话吗？

这个截图颇具迷惑性，仿佛是这是一次钱老的视频，底下这个是钱老说话的字幕

但实际上，你看了b站所有这些视频，没有一个里有钱老原声、原话的视频的

而最经典这张图，是放着钱老这张照片，然后背景音说，钱老说过：人再笨还能学不会微积分吗，的截图，也就是说不是钱老的原话，而是旁白说的

而实际这个片段出自央视的纪录片去《钱学森》，视频放这个片段的时候，是说钱老虽然离开了一线领导岗位，但始终关注火箭事业。没有提什么微积分，也不太可能提微积分。

所以，我找到了《钱学森文集》，搜索了微积分这个关键词

钱老是提过不少微积分

比如听课，指出微积分不应该像当时的老师那样讲两节，应该讲一节，然后安排做习题

或者自己学习了微积分

还有大量的说微积分很重要，数学很重要的论述

但是没找到这句”人再笨……“的话

然后，在谷歌、百度搜索

能找到的最早出处

但这个文章也没提钱老什么时候说过这个话，甚至内容里没有钱老说过这个话

只是提到钱老建议12岁学微积分

然后话锋一转，推荐一本《斯图尔特微积分》的书或者课程给初高中生，没错，这是个软广。

在多次搜索无果之后

我询问Chatgpt，其回答如下

说多了都是眼泪啊。我感觉自己也不算太笨，但是大一时就是怎么也学不会微积分，高数期末考试总共只做了56分的题，其它全空着的，差点就挂科了，幸好老师平时成绩给得高。

高数是我唯一学不会的数学，后来的数理方法啥的，包括群论，都是拿的A，很轻松。

不是不认真，大一那时候天天晚上在自修室泡到十点过才回宿舍，结果一点用没有。

我总结就是高数考的技术性的题目太多，背公式的题目太多，原理性的东西太少。我更喜欢偏原理性的科目，套公式、背解题思路的不太擅长。

有点类似的是我大一的力学也一般，但大二的理论力学就轻松拿A。因为力学也倾向于考技巧性的东西。

其实所有和统考科目沾边的，都会偏向技巧性，而忽视原理，这是应试教育长期形成的风尚。简单来说就是要你会做题就行，原理部分泛泛而谈，不讲太多的为什么。

我个人不太喜欢“术”，更喜欢“道”。所以进入专业课以后，不用靠刷题也能学，这才有了解放双手的感觉。

所以从这个角度讲钱老的话也没错。微积分为了让大多数人掌握，其实已经把自己退化成了半个文科，那几条常用公式背一背，用的时候各种排列组合就行了。

至于背后更深刻的那些自然原理、极限思想，其实要学到更高段的知识，回头来看，才会有更深的认识。

但是从另一个角度讲，这样的微积分又变得特别赶客。有不少学生就像我这样，喜欢原理性的知识。小学中学刷了那么多题，早就刷得够够的了，上了大一本来卯着劲想学点有趣的东西，结果还要接着刷，从生理上就很抗拒。

单纯的微积分肯定不难。难的是从小到大的数学课不是这样线性教的，中间掺杂了许多别的知识。

如果你直接解析几何、函数讲完，就直接微积分，大多数学生肯定没问题。但你又要讲集合，讲逻辑学，讲三角学，讲排列组合，讲立体几何，讲概率论。它们和微积分有没有关系？肯定有。但需不需要学那么深？不需要。

比方排列组合，微积分顶多用个二项式定理，这需要学一整个组合学作为前序知识吗？显然不用。

所以微积分并不是作为一门单独的科目，学它之前，学生早已被六七个平行的科目折腾够呛了，这时候再来学的微积分。空腹吃包子，和已经吃过馒头、油条、大饼之后，再去吃包子，感觉显然不一样。

这是应试阶段知识编排的问题，没有体现分科治学的精神。

数学其实应该和物理一样，力热电光分系统讲，高中可以先把力学电学讲明白，剩下讲不明白的就省略，留给大学。

我一直认为排列组合、统计概率论、立体几何这些都可以放给大学，集合论和逻辑学也可以弱化。高中一上来讲完函数，就直接微积分初步。

然后大学减少微积分课时，增加一个专门的抽代课作为统考科目，群论初步也可以放到这门课里。现有的概率论可以再增加一点组合学的内容。这样一来，大一的高数线代概率论，可以改成微、线、概、抽四门课，平均每门课半学期。

他应该充分践行“读万卷书，行万里路”，多走出象牙塔见识一些

到80岁也学不会四则运算的笨蛋。

更不要提微积分了。

他就是因为学会了微积分，所以论证出亩产万千？

说实话，一个人20岁能学会微积分，他14岁就能学会，只不过大部分人都需要按照一个规划出来的学习节奏来，并且必须按照这个规定出来的考试节点来评判学习进度和成果。

所以老中会觉得伽罗华两天干完欧式几何特别逆天，但伽罗华两天干完欧式几何你让他来做老中几何卷子我估计也不会是满分的程度……

我爸那时候高中是教微积分的，现在不教了。

钱老当年用的是甲种本教材，知识点密集，例题量大管饱，哪怕你的数学老师是丁真，你也能靠纯自学考满分。

现在中小学用的教材是防自学教材，只给你讲一下知识点，然后就直接给你来个《探究》，让你自己去推导和证明，完全不教你结论和二级结论。

你的老师是上海超级中学的金牌讲师，那肯定能推出来，但如果你的老师是丁真怎么办？纯自学能考个及格分都算祖坟冒青烟了。

宗门长老通过删减入门功法内容，人为制造教育格差，无限放大了上海超级中学学生和农村学生的差距。

十二年后要举行宗门大比。

这边天灵根的农村学生还在拿着一本《清心诀（残缺版）》琢磨被宗门长老故意删减掉的吐纳法、采气、周天运转是咋回事呢，花了十二年时间才把这本《清心诀（残缺版）》重新推演回了《清心诀（原版）》的七八成，修为提升到了练气三层。至于打斗用的火球术、水弹术，书里根本就不教。

那边杂灵根的上海超级中学学生已经拿着一本真传弟子内部参考用的《洪荒·开天辟地》和《混沌·大道始终》练到大乘期了，身上还有真仙父母送给他的护身法宝【东皇钟】和【造化玉牒】，最无耻的是，他参加宗门大比还能走阵修/丹修/器修/符修特色加分路线。

这宗门大比怎么打，你告诉我？

钱老想破脑袋也想不到，怎么会有宗门长老这么坏啊，故意制造教育机会不均等，迫害自家宗门弟子。

也别整啥微积分了，就这种防自学功法，爱因斯坦来了都得上大专。

人再笨能信气功吗？

如果钱老能赶上移动互联网时代，多上网冲冲浪，见识下物种多样性，就不会这么说了。

全人群智商的中位数，别说微积分，连初中数理化都会学得吃力，高中数理化可能压根学不会。

我初中在一所没有经过任何“生源筛选”（包括对家长的筛选）的初中，基本上就是属地居民的样本。根据我三年的观察，全校后50%成绩的人，初二以上的数理化，稍微上点难度，就一堆不及格了。很多人还是挺努力的，但就是学不会。其实很多表面看起来“没学好是因为没认真学”，本质上也是“没认真学是因为学不会、无法产生乐趣、甚至产生负面畏难情绪”。

所谓“中考五五分流”（当然现在大城市的普高比例远远不止50%了），其实被分流的那50%，到高中学数理化，可能是很痛苦的。而哪怕“前50%”的学生，也有相当多的比例，在高中里学数理化很吃力。更别说大学里的微积分了。

对于人类这个整体而言，学习复杂的科学文化知识的能力，本非几百万年自然选择的重点。大脑本身就是高耗能器官。而过于发达、超过实际所需的大脑，就是身体的负担、生存的负资产。

几百万年生物进化沉淀下来的东西，不会因为几千年、几百年甚至几十年的文明社会需求，而发生统计学意义上的改变。我们现在感觉很多“刚需”的生理禀赋、心智结构，在史前时代，可能完全就是鸡肋。

数学系：人就算再笨还能学不会微积分吗？

物理、传统工科：…………

计算机、化学、生物、商科：人就算再笨还能学不会微积分吗？

文科：…………

那看学到什么程度了,微积分说容易也很容易,说困难也很困难.

如果你对微积分的理解就是

$\begin{align*} \int_a^b\frac{1}{\sqrt{k^2+x^2}}dx &\underrightarrow{x = ktant}\int_{arctan\frac{k}{a}}^{arctan\frac{k}{b}}\frac{1}{cost}dt\\ &=\int_{arctan\frac{k}{a}}^{arctan\frac{k}{b}}\frac{1}{1-sin^2t}dsint\\ &=\frac{1}{2}ln\frac{1+sint}{1-sint}|_{arctan\frac{k}{a}}^{arctan\frac{k}{b}}\\ &=ln\{\frac{a}{b}\frac{\sqrt{b^2+k^2}+k^2}{\sqrt{a^2+k^2}+k^2}\} \end{align*}$ \begin{align*} \int_a^b\frac{1}{\sqrt{k^2+x^2}}dx &\underrightarrow{x = ktant}\int_{arctan\frac{k}{a}}^{arctan\frac{k}{b}}\frac{1}{cost}dt\\ &=\int_{arctan\frac{k}{a}}^{arctan\frac{k}{b}}\frac{1}{1-sin^2t}dsint\\ &=\frac{1}{2}ln\frac{1+sint}{1-sint}|_{arctan\frac{k}{a}}^{arctan\frac{k}{b}}\\ &=ln\{\frac{a}{b}\frac{\sqrt{b^2+k^2}+k^2}{\sqrt{a^2+k^2}+k^2}\} \end{align*}

这种简单的积分,那么这种东西一天就可以搞懂.

但是如果你对微积分的理解是

H-H模型

$I = C_m\frac{dV_M}{dt} +\overline{g}_Kn^4(V_m-V_K)+\overline{g}_{Na}m^3h(V_m-V_{Na})+\overline{g}_l(V_m-V_l) \\ \frac{dn}{dt} = \alpha_n(V_m)(1-n)-\beta_n(V_m)n \\ \frac{dm}{dt} = \alpha_m(V_m)(1-m) - \beta_m(V_m)m \\ \frac{dh}{dt} = \alpha_h(V_m)(1-h) - \beta_h(V_m)h$I = C_m\frac{dV_M}{dt} +\overline{g}_Kn^4(V_m-V_K)+\overline{g}_{Na}m^3h(V_m-V_{Na})+\overline{g}_l(V_m-V_l) \\ \frac{dn}{dt} = \alpha_n(V_m)(1-n)-\beta_n(V_m)n \\ \frac{dm}{dt} = \alpha_m(V_m)(1-m) - \beta_m(V_m)m \\ \frac{dh}{dt} = \alpha_h(V_m)(1-h) - \beta_h(V_m)h

这种非线性的体系

$在Hodgkin和Huxley的原始论文[1]中，\alpha和\beta函数如下给出\\ \begin{cases} \alpha_n(V_m) = \frac{0.01(10-V)}{exp(\frac{10-V}{10})-1}\\ \alpha_m(V_m) = \frac{0.1(25-V)}{exp(\frac{25-V}{10})-1}\\ \alpha_h(V_m) = 0.07exp(-\frac{V}{20})\\ \beta_n(V_m) = 0.125exp(-\frac{V}{80})\\ \beta_m(V_m) = 4exp(-\frac{V}{18})\\ \beta_h(V_m) = \frac{1}{exp(\frac{30-V}{10})+1}\\ \end{cases}$在Hodgkin和Huxley的原始论文[1]中，\alpha和\beta函数如下给出\\ \begin{cases} \alpha_n(V_m) = \frac{0.01(10-V)}{exp(\frac{10-V}{10})-1}\\ \alpha_m(V_m) = \frac{0.1(25-V)}{exp(\frac{25-V}{10})-1}\\ \alpha_h(V_m) = 0.07exp(-\frac{V}{20})\\ \beta_n(V_m) = 0.125exp(-\frac{V}{80})\\ \beta_m(V_m) = 4exp(-\frac{V}{18})\\ \beta_h(V_m) = \frac{1}{exp(\frac{30-V}{10})+1}\\ \end{cases}

$经典的Hodgkin-Huxley模型将可兴奋细胞的每个部分都当作电路元件来处理（如图所示）。磷脂双分子层表示为电容（C_m）。电压门控离子通道表示为电导（g_n，其中n是特定的离子通道），它依赖于电压和时间。漏通道表示为线性电导（g_L）。驱使离子流动的电化学梯度表示为电压源（E_n），电压源的电压取决于相关离子种类在细胞内和细胞外的浓度的比值。最后，离子泵表示为电流源（i_p）。膜电位表示为V_m。$经典的Hodgkin-Huxley模型将可兴奋细胞的每个部分都当作电路元件来处理（如图所示）。磷脂双分子层表示为电容（C_m）。电压门控离子通道表示为电导（g_n，其中n是特定的离子通道），它依赖于电压和时间。漏通道表示为线性电导（g_L）。驱使离子流动的电化学梯度表示为电压源（E_n），电压源的电压取决于相关离子种类在细胞内和细胞外的浓度的比值。最后，离子泵表示为电流源（i_p）。膜电位表示为V_m。

数学上，流过磷脂双分子层的电流写为 $I_c = C_m\frac{dV_m}{dt}$I_c = C_m\frac{dV_m}{dt}

流过给定离子通道的电流为乘积 $I_i = g_i(V_m - V_i)$I_i = g_i(V_m - V_i)

其中 $V_i$V_i 是第i个离子通道的反转电位。因此，对于具有钠和钾离子通道的细胞，通过细胞膜的总电流为 $I = C_m\frac{dV_m}{dt}+g_K(V_m-V_k)+g_{N_a}(V_m-V_{N_a})+g_l(V_m-V_l)$I = C_m\frac{dV_m}{dt}+g_K(V_m-V_k)+g_{N_a}(V_m-V_{N_a})+g_l(V_m-V_l)

其中I为单位面积的总膜电流， $C_m$C_m 为单位面积的膜电容， $g_K$g_K 和 $g_{N_a}$g_{N_a} 分别为单位面积的钾和钠的电导， $V_K$V_K 和 $V_{N_a}$V_{N_a} 分别为钾和钠的反转电位， $g_l$g_l 和 $V_l$V_l 分别为单位面积的漏电导和漏反转电位。这个方程中对时间依赖的项为 $V_m$V_m 、 $g_{N_a}$g_{N_a} 和 $g_K$g_K ，其中最后两个电导项也明确地取决于电压。

很明显,我们无法对这四个耦合的微分方程进行解析求解,但是这挡不住我们使用数值解法来求解,这些东西在钱学森的时代已经有了,但是计算机进入普通人的生活还好像21世纪的事情。

我们使用四阶龙格库塔算法实现在持续刺激下电位的变化

我计算了刺激电流 $I_{app}$I_{app} 从0到50mV电流的情况

画出如下示意图

各离子在一个周期内的电流情况

可以认为Hodgkin-Huxley模型是一个具有4个状态变量 $V_m(t),n(t),m(t),h(t)$V_m(t),n(t),m(t),h(t) 的微分方程系统，它们随着时间变化。这个系统很难研究，因为它是一个非线性系统，无法用解析法求解。然而，可以用许多数值方法分析该系统。可以证明某些性质和一般行为（如极限环）是存在的。

我们也可以使用计算机画出来

自然界有很多现象不是由简单的微分方程描述,而是又非线性的方程描述,这就形成了现代物理的一个重要分支,非线性物理,理论物理学家认为非线性是由于量子力学的不确定性原理和经典力学的混沌造成的.我相信这已经不属于钱学森所指的微积分的范畴,但是这些问题又来自于以前微积分无法解决的问题,是一个深奥的领域.

四阶龙格库塔算法实现在持续刺激下电位的变化：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


def alphy_n(u):
    return 0.01*(10-u)/(np.exp((10-u)/10)-1)

def alphy_m(u):
    return 0.1*(25-u)/(np.exp((25-u)/10)-1)

def alphy_h(u):
    return 0.07*np.exp(-u/20)

def beta_n(u):
    return 0.125*np.exp(-u/80)

def beta_m(u):
    return 4*np.exp(-u/18)

def beta_h(u):
    return 1/(np.exp((30-u)/10)+1)

def fV(V,m,h,n):
    return (-g_L * (V - E_L) - g_Na * m ** 3 * h * (V - E_Na) - g_K * n ** 4 * (V - E_K) +10)/ C

def fm(V,m,h,n):
    return (alphy_m(V) * (1 - m) - beta_m(V) * m)

def fh(V,m,h,n):
    return (alphy_h(V) * (1 - h) - beta_h(V) * h)

def fn(V,m,h,n):
    return (alphy_n(V) * (1 - n) - beta_n(V) * n)

C = 1
E_Na = 115
g_Na = 120
E_K = -12
g_K = 36
E_L = 10.6
g_L = 0.3
t = np.linspace(0,200,10001)
N = len(t)
dt = t[2] - t[1]
V = np.array([0,0])
m = np.array([0,0.529])
n = np.array([0,0.3177])
h = np.array([0,0.5961])

for i in range(1,N-1):

    k1 = fV(V[i],m[i],h[i],n[i])
    l1 = fm(V[i],m[i],h[i],n[i])
    p1 = fh(V[i],m[i],h[i],n[i])
    q1 = fn(V[i],m[i],h[i],n[i])

    k2 = fV(V[i]+0.5*dt*k1,m[i]+0.5*dt*l1,h[i]+0.5*dt*p1,n[i]+0.5*dt*q1)
    l2 = fm(V[i]+0.5*dt*k1,m[i]+0.5*dt*l1,h[i]+0.5*dt*p1,n[i]+0.5*dt*q1)
    p2 = fh(V[i]+0.5*dt*k1,m[i]+0.5*dt*l1,h[i]+0.5*dt*p1,n[i]+0.5*dt*q1)
    q2 = fn(V[i]+0.5*dt*k1,m[i]+0.5*dt*l1,h[i]+0.5*dt*p1,n[i]+0.5*dt*q1)

    k3 = fV(V[i]+0.5*dt*k2,m[i]+0.5*dt*l2,h[i]+0.5*dt*p2,n[i]+0.5*dt*q2)
    l3 = fm(V[i]+0.5*dt*k2,m[i]+0.5*dt*l2,h[i]+0.5*dt*p2,n[i]+0.5*dt*q2)
    p3 = fh(V[i]+0.5*dt*k2,m[i]+0.5*dt*l2,h[i]+0.5*dt*p2,n[i]+0.5*dt*q2)
    q3 = fn(V[i]+0.5*dt*k2,m[i]+0.5*dt*l2,h[i]+0.5*dt*p2,n[i]+0.5*dt*q2)

    k4 = fV(V[i]+dt*k3,m[i]+dt*l3,h[i]+dt*p3,n[i]+dt*q3)
    l4 = fm(V[i]+dt*k3,m[i]+dt*l3,h[i]+dt*p3,n[i]+dt*q3)
    p4 = fh(V[i]+dt*k3,m[i]+dt*l3,h[i]+dt*p3,n[i]+dt*q3)
    q4 = fn(V[i]+dt*k3,m[i]+dt*l3,h[i]+dt*p3,n[i]+dt*q3)

    V_next = V[i] + dt/6*(k1+2*k2+2*k3+k4)
    m_next = m[i] + dt/6*(l1+2*l2+2*l3+l4)
    h_next = h[i] + dt/6*(p1+2*p2+2*p3+p4)
    n_next = n[i] + dt/6*(q1+2*q2+2*q3+q4)

    V = np.append(V,V_next)
    m = np.append(m,m_next)
    h = np.append(h,h_next)
    n = np.append(n,n_next)

print(m[i],n[i],h[i],V[i])
for i in range(1,N):
    V[i] = V[i] - 65

plt.xlabel( 't ms')
plt.ylabel('V mV')
plt.plot(t,V)
plt.show()

[1]A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve,The Journal of Physiology,Hodgkin AL, Huxley AF,1952

评论区有人说下面的简单,其实是例子简单,我列举一个稍微复杂的.

斑图动力学

在自然界中，斑图现象广泛存在，从动物的皮毛纹理到流体中的对流结构等，这些斑图蕴含着复杂而有序的规律。1952 年，图灵开创性地运用反应 - 扩散系统数学模型描述如虎纹、豹斑等自然斑图，开启了斑图动力学研究的大门。此后，斑图动力学在多个物理领域成为研究热点，其在揭示自然现象背后的物理机制以及推动相关技术发展方面具有关键作用。例如，在流体力学的热对流研究中，通过对瑞利 - 贝纳德对流系统的探索，有助于理解大气环流、海洋热盐对流等宏观现象；在非线性光学系统里，对激光腔光强斑图的研究为光通信、光存储等技术提供了理论支撑；于液晶材料方面，研究液晶分子取向斑图变化对制造高质量显示面板意义重大。本文将深入探讨斑图动力学的模型、解法、图灵斑图特性及线性稳定性分析等核心内容，系统阐述其理论与应用价值。

$\begin{cases} \frac{\partial u}{\partial t} = -\frac{1}{\epsilon}u(u-1)[u - (v+b)/a]+\nabla^2u\\ \frac{\partial v}{\partial t} = f(u) -v \end{cases}$\[ \begin{cases} \frac{\partial u}{\partial t} = -\frac{1}{\epsilon}u(u-1)[u - (v+b)/a]+\nabla^2u\\ \frac{\partial v}{\partial t} = f(u) -v \end{cases} \]

$\begin{cases} f(u) = 0 \text{ if } 0 \leq u < \frac{1}{3}\\ f(u) = 1 - 6.75u(u-1)^2 \text{ if } \frac{1}{3} \leq u \leq 1\\ f(u) = 1 \text{ if } u>1 \end{cases}$\[ \begin{cases} f(u) = 0 \text{ if } 0 \leq u < \frac{1}{3}\\ f(u) = 1 - 6.75u(u-1)^2 \text{ if } \frac{1}{3} \leq u \leq 1\\ f(u) = 1 \text{ if } u>1 \end{cases} \]

参数的选择

$\begin{cases} a = 0.84\\ b = 0.07\\ \text{如果} 0.01<\epsilon<0.06:\text{可以产生稳定的螺旋波和行波}\\ \text{如果} \epsilon = 0.06 \text{螺旋波将会经历从稳定到不稳定}\\ \text{如果} \epsilon > 0.07 \text{螺旋波破碎,整个系统进入混沌} \end{cases}$\[ \begin{cases} a = 0.84\\ b = 0.07\\ \text{如果} 0.01<\epsilon<0.06:\text{可以产生稳定的螺旋波和行波}\\ \text{如果} \epsilon = 0.06 \text{螺旋波将会经历从稳定到不稳定}\\ \text{如果} \epsilon > 0.07 \text{螺旋波破碎,整个系统进入混沌} \end{cases} \]

边界条件

第一种猜测:

零流边界条件: $\frac{\partial V}{\partial n} = 0$\frac{\partial V}{\partial n} = 0

在非四角边界处:在2D的情况下,用周围4点的值代替中心,但是对于这样的边界周围只有三个点.

如图所示我们可以使用 $u_{i,j}$u_{i,j} 上面的点 $u_{i-1,j}$u_{i-1,j} ,来代替 $u_{i+1,j}$u_{i+1,j}

在四角处:

对于 $u_{i,j}$u_{i,j} 我们用 $u_{i-1,j}$u_{i-1,j} 和 $u_{i,j-1}$u_{i,j-1} 来代替

但是发现行波并不好

这时我换一种方法:

这时我们发现行波非常完美:

靶波

将中心四点在每一次迭代的时候设置为1,这样可以形成稳定的靶波

螺旋波

要点:产生半列单向传递的行波!在边界处产生一列行波,当行波传递到中间时,将整个上半平面或下半平面设置为0(如果只是设置一列为零无效)

混沌

在模型1中要产生混沌，我们需要令 $\epsilon > 0.07$\epsilon > 0.07

这和产生螺旋波一样，先产生一列行波，然后行波运行到一半时，消除半列波，此时产生的螺旋波会迅速的演化为混沌

消除混沌

当我们在左端加上一个高频的行波,我们可以消除螺旋波.

消除螺旋波

消除螺旋波和混沌的注意事项

如果我们直接消除螺旋波和混沌会导致行波和螺旋波撞不过行波

这时候会被行波撞回去

这时候如果我们选择在产生行波条件发出后调整a和b的值

令a = 0.08,b = 0.06

就可以使行波消除螺旋波和混沌

隐式解法

一维齐次扩散方程矩阵解法的推导

上面我们使用的解决扩散方程的显式解法.

下面我们介绍后向差分法.

对于一维扩散方程 $\frac{\partial u(x,t)}{\partial t} = D\frac{\partial^2u(x,t)}{{\partial x}^2}$\frac{\partial u(x,t)}{\partial t} = D\frac{\partial^2u(x,t)}{{\partial x}^2}

取 $\Delta x = h , \Delta t = \tau$\Delta x = h , \Delta t = \tau 进行离散化,节点坐标为:

$\begin{cases} x_i = (i-1)h(i=1,2,\ldots,N)\\ t_k = k\tau(k=1,2,\ldots,k_{max})\\ \end{cases}$\[ \begin{cases} x_i = (i-1)h(i=1,2,\ldots,N)\\ t_k = k\tau(k=1,2,\ldots,k_{max})\\ \end{cases} \]

进过整理 $-\xi u_{i+1}^k + (1+2\xi) u_i^k - \xi u_{i-1}^k=u_i^{k-1}$ -\xi u_{i+1}^k + (1+2\xi) u_i^k - \xi u_{i-1}^k=u_i^{k-1}

$\frac{\partial^2u}{{\partial x}^2} = \frac{u_{i+1}-2u_i+u_{i-1}}{h^2}$ \frac{\partial^2u}{{\partial x}^2} = \frac{u_{i+1}-2u_i+u_{i-1}}{h^2}

可以得到

$\frac{u_i^k-u_i^{k-1}}{\tau} = \frac{D}{h^2}(u_{i+1}^k-2u_i^k+u_{i-1}^k)$ \frac{u_i^k-u_i^{k-1}}{\tau} = \frac{D}{h^2}(u_{i+1}^k-2u_i^k+u_{i-1}^k)

我们设 $\xi = \frac{D \tau}{h^2}$\xi = \frac{D \tau}{h^2}

$-\xi u_{i+1}^k + (1+2\xi) u_i^k - \xi u_{i-1}^k=u_i^{k-1}$-\xi u_{i+1}^k + (1+2\xi) u_i^k - \xi u_{i-1}^k=u_i^{k-1}

我们设 $\xi = \frac{D \tau}{h^2}$\xi = \frac{D \tau}{h^2}

$-\xi u_{i+1}^k + (1+2\xi) u_i^k - \xi u_{i-1}^k=u_i^{k-1}$ -\xi u_{i+1}^k + (1+2\xi) u_i^k - \xi u_{i-1}^k=u_i^{k-1}

$$\begin{pmatrix} 1 + 2\xi & -\xi & 0 & 0 & 0 \\ -\xi & 1+2\xi & -\xi & 0 & 0 \\ 0 & -\xi & 1+2\xi & 0 & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & 1+2\xi & -\xi \\ 0 & 0 & 0 &-\xi & 1+2\xi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_1^k \\ u_2^k \\ u_3^k \\ \ldots \\ u_{n-1}^k \\ u_n^k \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} u_1^{k-1} \\ u_2^{k-1} \\ u_3^{k-1} \\ \ldots \\ u_{n-1}^{k-1} \\ u_n^{k-1} \end{pmatrix} \\$$ \begin{pmatrix} 1 + 2\xi & -\xi & 0 & 0 & 0 \\ -\xi & 1+2\xi & -\xi & 0 & 0 \\ 0 & -\xi & 1+2\xi & 0 & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & 1+2\xi & -\xi \\ 0 & 0 & 0 &-\xi & 1+2\xi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_1^k \\ u_2^k \\ u_3^k \\ \ldots \\ u_{n-1}^k \\ u_n^k \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} u_1^{k-1} \\ u_2^{k-1} \\ u_3^{k-1} \\ \ldots \\ u_{n-1}^{k-1} \\ u_n^{k-1} \end{pmatrix} \\

一维非齐次的推导

$u_t - \nabla^2u = f$u_t - \nabla^2u = f

$\frac{u_i^k-u_i^{k-1}}{\tau} - \frac{u_{i+1}^k-2u_i^k+u_{i-1}^k}{h^2}=f_i^k$\frac{u_i^k-u_i^{k-1}}{\tau} - \frac{u_{i+1}^k-2u_i^k+u_{i-1}^k}{h^2}=f_i^k

$u_i^{k-1}=-\frac{\tau}{h^2}u_{i+1}^k+(1+2\frac{\tau}{h^2})u_i^k-\frac{\tau}{h^2}u_{i-1}^k-\tau f_i^k$u_i^{k-1}=-\frac{\tau}{h^2}u_{i+1}^k+(1+2\frac{\tau}{h^2})u_i^k-\frac{\tau}{h^2}u_{i-1}^k-\tau f_i^k

$\begin{pmatrix} f_1^k&1 + 2\xi & -\xi & 0 & 0 \\ f_2^k&-\xi & 1+2\xi & 0 & 0 \\ f_3^k&0 & -\xi & 0 & 0 \\ \ldots&\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ f_{n-1}^k&0 & 0 & 1+2\xi & -\xi \\ f_n^k&0 & 0 &-\xi & 1+2\xi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\ u_1^k \\ u_2^k \\ u_3^k \\ \ldots \\ u_{n-1}^k \\ u_n^k \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} u_1^{k-1} \\ u_2^{k-1} \\ u_3^{k-1} \\ \ldots \\ u_{n-1}^{k-1} \\ u_n^{k-1} \end{pmatrix}$ \begin{pmatrix} f_1^k&1 + 2\xi & -\xi & 0 & 0 \\ f_2^k&-\xi & 1+2\xi & 0 & 0 \\ f_3^k&0 & -\xi & 0 & 0 \\ \ldots&\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ f_{n-1}^k&0 & 0 & 1+2\xi & -\xi \\ f_n^k&0 & 0 &-\xi & 1+2\xi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\ u_1^k \\ u_2^k \\ u_3^k \\ \ldots \\ u_{n-1}^k \\ u_n^k \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} u_1^{k-1} \\ u_2^{k-1} \\ u_3^{k-1} \\ \ldots \\ u_{n-1}^{k-1} \\ u_n^{k-1} \end{pmatrix}

二维非齐次扩散方程的矩阵解法

我们有网格 $u_{100\times100}$u_{100\times100}

$u_t - D\nabla^2u = f(x,y)$u_t - D\nabla^2u = f(x,y)

$\frac{u_{i,j}^{k+1}-u_{i,j}^k}{\tau} - \frac{D}{h^2}(u_{i-1,j}^k+u_{i+1,j}^k+u_{i,j-1}^k+u_{i,j+1}^k-4u_{i,j})= f_{i,j}$\frac{u_{i,j}^{k+1}-u_{i,j}^k}{\tau} - \frac{D}{h^2}(u_{i-1,j}^k+u_{i+1,j}^k+u_{i,j-1}^k+u_{i,j+1}^k-4u_{i,j})= f_{i,j}

$u_{i,j}^{k+1} = u_{i,j}^k+\frac{D\tau}{h^2}(u_{i-1,j}^k+u_{i+1,j}^k+u_{i,j-1}^k+u_{i,j+1}^k-4u_{i,j})+\tau f_{i,j}$u_{i,j}^{k+1} = u_{i,j}^k+\frac{D\tau}{h^2}(u_{i-1,j}^k+u_{i+1,j}^k+u_{i,j-1}^k+u_{i,j+1}^k-4u_{i,j})+\tau f_{i,j}

设 $\frac{D\tau}{h^2} = \xi$\frac{D\tau}{h^2} = \xi

$u_{i,j}^{k+1} = (1-4\xi)u_{i,j}^k+\xi(u_{i-1,j}^k+u_{i+1,j}^k+u_{i,j-1}^k+u_{i,j+1}^k)+\tau f_{i,j}$u_{i,j}^{k+1} = (1-4\xi)u_{i,j}^k+\xi(u_{i-1,j}^k+u_{i+1,j}^k+u_{i,j-1}^k+u_{i,j+1}^k)+\tau f_{i,j}

对于边界处的特殊处理:

1.四角处的矩阵元(以 $u_{11}$u_{11} 为例):

$u_{11}^{k+1}=u_{11}^k+\xi(u_{12}^k+u_{21}^k-2u_{11})+\tau f_{i,j}$u_{11}^{k+1}=u_{11}^k+\xi(u_{12}^k+u_{21}^k-2u_{11})+\tau f_{i,j}

2.非四角处边界处的矩阵元(以u[:,0]为例)

$u_{i,j}^{k+1}+\xi(u_{i-1,j}^k+u_{i+1,j}^k+2u_{i,j+1}^k-4u_{i,j})+\tau f_{i,j} =\xi u_{i,j}^k+\xi(u_{i-1,j}^k+u_{i+1,j}^k+2u_{i,j+1}^k)+\tau f_{i,j}$u_{i,j}^{k+1}+\xi(u_{i-1,j}^k+u_{i+1,j}^k+2u_{i,j+1}^k-4u_{i,j})+\tau f_{i,j} =\xi u_{i,j}^k+\xi(u_{i-1,j}^k+u_{i+1,j}^k+2u_{i,j+1}^k)+\tau f_{i,j}

$\begin{pmatrix} \ldots & \ldots & \ldots \\ \ldots & P & \ldots \\ \ldots & \ldots & \ldots \end{pmatrix}_{n^2,n^2+1} \begin{pmatrix} u_{11}^k \\ \ldots \\ u_{n1}^k \\ u_{12}^k \\ \ldots \\ u_{n1}^k \\ \ldots \\ \ldots \\ u_{1n}^k \\ \ldots \\ u_{n,n}^k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_{11}^{k+1}\\ \ldots\\ u_{n1}^{k+1}\\ u_{12}^{k+1}\\ \ldots\\ u_{n1}^{k+1}\\ \ldots\\ \ldots\\ u_{1n}^{k+1}\\ \ldots\\ u_{nn}^{k+1}\\ \end{pmatrix}$\begin{pmatrix} \ldots & \ldots & \ldots \\ \ldots & P & \ldots \\ \ldots & \ldots & \ldots \end{pmatrix}_{n^2,n^2+1} \begin{pmatrix} u_{11}^k \\ \ldots \\ u_{n1}^k \\ u_{12}^k \\ \ldots \\ u_{n1}^k \\ \ldots \\ \ldots \\ u_{1n}^k \\ \ldots \\ u_{n,n}^k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_{11}^{k+1}\\ \ldots\\ u_{n1}^{k+1}\\ u_{12}^{k+1}\\ \ldots\\ u_{n1}^{k+1}\\ \ldots\\ \ldots\\ u_{1n}^{k+1}\\ \ldots\\ u_{nn}^{k+1}\\ \end{pmatrix}

对于 $1<i<n,1<j<n$1<i<n,1<j<n 的情况

$$u_{i,j}\overrightarrow{}P_{(i-1)n+j,(i-1)n+j} = 1 - 4\xi\\ u_{i,j-1}\overrightarrow{}P_{(i-1)n+j,(i-1)n+j-1} = \xi\\ u_{i,j+1}\overrightarrow{}P_{(i-1)n+j,(i-1)n+j+1} = \xi\\ u_{i-1,j}\overrightarrow{}P_{(i-1)n+j,(i-2)n+j} = \xi\\ u_{i+1,j}\overrightarrow{}P_{(i-1)n+j,in+j} = \xi\\ P_{(i-1)n+j,n^2+1} = f_{ij}\\$$ u_{i,j}\overrightarrow{}P_{(i-1)n+j,(i-1)n+j} = 1 - 4\xi\\ u_{i,j-1}\overrightarrow{}P_{(i-1)n+j,(i-1)n+j-1} = \xi\\ u_{i,j+1}\overrightarrow{}P_{(i-1)n+j,(i-1)n+j+1} = \xi\\ u_{i-1,j}\overrightarrow{}P_{(i-1)n+j,(i-2)n+j} = \xi\\ u_{i+1,j}\overrightarrow{}P_{(i-1)n+j,in+j} = \xi\\ P_{(i-1)n+j,n^2+1} = f_{ij}\\

P矩阵的前 $n^2\times n^2$n^2\times n^2 部分是关于u的系数部分,而最后一列是将 $f_{n,n}$f_{n,n} 排开为 $n^2$n^2 长度的矢量

首先要理解一点：现代公共教育的要求是在规定年限之内学完规定的内容，并通过测试。这件事和“学会”是两码事。就好比“两小时内做完高考卷”和“会做高考卷”是两码事。因为很多人花个两三天把高考卷做完并不是难事。时间限制是一个很高的要求。所以，在大学一年学会微积分，和“死前学会微积分”或“花20年学会微积分”，完全是两个难度。我们讲的“学会微积分”并不是高校要求的“一年内学会微积分”。

那么为什么很多人一辈子学不会微积分呢？其实和“一辈子学不会游泳”、“一辈子学不会骑自行车”是一样的，是最初尝试时畏难情绪过重和挫折过多，导致的心理障碍。现在的中学数学基本以代数计算能力和几何直观理解力为主，基本没有培养过学习微积分所需的前置能力，比如基本不讲极限和 $\epsilon-\delta$\epsilon-\delta 语言所需的逻辑概念，基本不讲映射和集合，基本不讲无限的思想。大家在中学6年适应了一种思考模式，而微积分需要的是另一种思考模式。这种急剧的转变是大多数人难以一下子适应的。而微积分这种内容可能要分解成数十个“学会骑自行车”级别的尝试，很多人在某几个地方连续受到过多挫折，加上本来就有畏难情绪，不自信，自然就容易放弃。而放弃的人多了，就会产生各种自我安慰的借口，比如“本来这玩意儿就很难”，“你看他们也学不会”，等等。很多见不得人好的人甚至会暗中阻挠、打击别人学习的热情来安慰自己。

但如果你一开始就打着“花十年到二十年学会微积分”的想法来做全盘计划，用“学微积分就是一辈子的事”的心态来学习，那么没有哪个智力正常的人会认为自己学不会微积分。你把本来两学期的微积分课程里要学的那些知识点拆到3-4年里，然后重复学个三四遍，难道还学不会吗？

还有一个问题是如何定义“学会”。很多学校的考试题目都不自觉地向高考靠拢，出一些偏难怪题，搞文字游戏和代数技巧。这种出题方法是路径依赖了。毕竟现在的高校教师也是高考出来的做题家，不自觉的就会按中高考的出题方式来考察学生。然而从理论上来说，“学会”微积分并不需要这些东西。甚至很多积分技巧在实践应用中根本不需要人手工掌握了，完全可以交给计算机。不知道 $\frac{1}{x(1+x^6)}$\frac{1}{x(1+x^6)} 怎么积分，对现代科研和工作来说其实没有太大关系。现实的科研和工作中没人会要求你随时手算积分。现代的自然科学应用中，掌握积分的含义比掌握积分技巧重要得多。很多人其实已经学会了21世纪自然科学应用所需的80%的微积分内容，但接着就被过时的教材和课程带到各种偏难怪题的错误路径上去，琢磨各种早就不需要的奇技淫巧，结果以为自己“没学会”，其实他们大部分时间浪费在过时无用的“假微积分”上了。

自然科学应用级别的微积分，只是理解基本概念、基本结论和基本应用就可以了。其他的内容大致了解一下，在研究或工作中用到的时候再学就可以了。

另外想谈一点，也是我在以往的回答里谈到过的：中学数学的科举化对大学学习的害处。

中学数学并不是数学的终点。正相反的是：现代数学的根基正建立在对中学范围内的“古典数学”的反思和深挖之上。所以中学数学乃至大学本科的数学都只是一个给现代数学做“地基”的东西。我这里用“地基”其实也不恰当，更合理的比喻是中学数学乃至本科数学是一棵树，而现代数学是树上的兔子洞。你得先有了树，才能掉进树上的兔子洞。这棵“树”上兔子洞可以在任何地方出现。而数学家正是在发现了树上的兔子洞之后，深入探索，才开发出了现代数学的各个领域。

所以，中学数学乃至本科数学其实是有各种“破绽”的。对这些“破绽”的深入思考导致了现代数学的发展。最有名的比如费马大定理、哥德巴赫猜想等等，都是可以基于很粗浅的知识就想到的“兔子洞”。

另一方面，数学科目作为中小学基础学科来说，需要有一个能够定量衡量学习结果、能力的普遍测试。这个普遍测试就要求中小学数学有一个自洽的框架。这就要求教育者编一个能够自洽的知识体系。这个知识体系就要求避开那些“兔子洞”。

然而，随着中国的应试教育越来越内卷，越来越科举化，很多高深知识就会被拿来作为“背景”出各种刁钻的偏难题。而当你用来出题的知识接近“兔子洞”的时候，就挡不住人家从“兔子洞”里掏出各种“武器”来应付你了——比如有名的洛必达法则。这就导致一方面中学数学不可避免地“向上扩张”，用高等数学的概念乃至思想来开发题目，另一方面要规定“禁手”，把“兔子洞”堵住，不让你借用“兔子洞”里的工具。这就回到了以往科举的模式，要求学生只能用规定范围内的知识和方法应付考试。

这种科举化导致的思维模式，对大学学习是有害的。首先，很多学生升入大学时还停留在做题家思维，认为数学乃至任何知识体系都是一个封闭的自洽体系，而通过“做题”可以反推出这些知识体系的所有知识点，从而掌握整个知识体系。这种做题家思维会导致很多学生掉进“兔子洞”而不自知，带着“填坑”的思想而不是探秘的态度进入“兔子洞”，结果被“兔子洞”的深度吓到。举例来说，一些貌似很简单的问题：

• 什么函数可以积分？
• 不连续的函数怎么分类？
• $\pi$\pi 和 $\mathrm{e}$\mathrm{e} 构成的代数表达式是否是无理数？

很多学生会习惯性地用“解题思维”来学习，在“解题”中遇到各种“兔子洞”，结果发现做题家模式对这些“兔子洞”无效，产生巨大挫折感，不知所措。

其次，认知到数学知识的无边界性、不封闭性之后，学生就要开始懂得如何在没有边界感的情况下学习（当然大学也有考研数学，有规定的范围。但我认为考研数学只是重复中学的科举模式的一个更大的坑而已）。没有边界感，就要求由教师或者学生自己定制一个边界，定制对应的学习计划。比如学拓扑应该学到哪里为止，学线性代数应该学到哪里为止，等等。中国的大部分高校老师对这种事情并不上心，或者说没有能力帮助学生，搞出来的培养计划要么过于激进，要么过于保守，而且大多数情况下是授之以鱼而不是授之以渔，也就是说没有教学生怎么自己制定学习计划。当然，这个问题是全球性的，不仅仅是中国的问题。只是中国的学生因为中学时代养成的习惯，更难以自我调整。

最后一个就是目前中学课纲去脉络化、不平衡导致的破坏。中国高中会学导数和介值定理，但不学极限和基于极限的连续、可导概念。不学积分的定义和微积分基本定理，但又会教一些求导和积分的技巧。不学数列和级数，但又会用到一些级数收敛的思想。这就导致高中生对整个高等数学（分析学）产生一种非常扭曲的认识。你可以看到高中数学题里明目张胆地讨论infsup和supinf的区别，仿佛这是什么再基础不过的常识，另一方面学生连0.999...=1都不知道怎么论证。这种堆积在中学生脑里，无视数学内在规律和次序的“矢山”，到了大学里就是学习的阻碍。

所以，要让学生更合理更方便地学习微积分乃至一切的“高等数学”（中数数学范围以外的数学），都必须从中学开始“纠偏”，把由于各种历史原因和应试原因导致的问题消去。但显然目前乃至可预见的未来，我们还无法做到这种“纠偏”。但作为学生，意识到“偏差”的存在本身就很重要。

人再笨还能学不会线性代数吗！

我教微积分出的期中考试题，前面两题设计成送分题。第一个问的是类似于arccos(1/2)=多少这样的反三角函数求值，第二个问的是下列哪个函数是偶函数，4个选项都是微积分常见的函数。两个都是选择题。我出的时候信心满满，心想你再不会，你把微积分当成文科学，也能记住这些常见结论吧？

结果，答题卡扫描结果一出，反正这两个题目选什么的都有，而且我愣是看不出占多数的答案。。我当时心里真的是拔凉拔凉的。有同学可能会问，微积分怎么不考极限导数这些，因为我们教材第一章叫做函数的性质，就是回顾一下高中学过的函数内容，再补充一下反三角函数的知识，因为这部分高中教材不一定讲过。很多大学讲高数的时候把这一部分预备知识一笔带过，我们是安排了两节课专门讲这些东西，也列入考试范围的。在预备知识范围内安排考试题，本意就是送分，结果送不出去。。我也不知道该说什么。

顺便说一句，期中考试结束后，我把不及格的学生全部叫到办公室。然后我问了他们一个中学数学基础问题：sin 30度 等于多少？全场沉默了10秒钟。。只有一两个学生小声说1/2，很多同学挠着头说，不好意思啊老师，我真的忘了。。我想起前两年微积分挂科的学生，补考之前复习，我也是问他，x^2的导数是什么？他也是一模一样的回答，老师，我真的忘了。。

我想这不可能是智商问题，绝对是态度问题。我想不通为什么有些学生对于微积分这种5学分的大课，真的是一点点点点心思都不愿意花。

其实我们的学生也是高考录取的，也要到一本线以上的程度。我现在真的对高考对中等程度学生的选拔能力产生了强烈的质疑。怎么会有高考考500多的人还搞不清楚常见函数的奇偶性，以及不知道基本的正弦值？？以前有微积分的脑筋急转弯说一个非常复杂的函数的定积分是0，因为这个函数是奇函数，积分区间关于0对称。现在我们的学生恐怕接不了这个梗，因为他们对奇偶性没概念。。

钱老还是见识少了。先看一张图片。

图中的几千人都是全国各地的天之骄子。但是，如果钱老在世的话，除了在主席台上坐着的那群人，其他穿学位服的，能够有资格见钱老的估计一只手都数的过来。

天下英雄如过江之鲫。

天之骄子只是上清北的门槛。

天才中的天才，才是见钱老的门槛。

天才中的天才能学不会《微积分》吗？

钱老要是能活到现在，刷刷短视频。就能知道这个世界上，还有：

$0.8 * 0.5 = 0.04$0.8 * 0.5 = 0.04

$0.11 > 0.9$0.11 > 0.9

的两大群体。