事实上，按照 {\rm d}x{\rm d}y=(\cos \theta{\rm d}r-r\sin \theta{\rm d}\theta)(\sin\theta{\rm d}r+r\cos \theta{\rm d}\theta)=\sin \theta\cos \theta{\rm d}r^2+r\cos^2\theta{\rm d} r {\rm d}\theta-r\sin^2\theta{\rm d} \theta {\rm d}r-r^2\sin \theta\cos \theta{\rm d}\theta^2

这个算法算出来的 {\rm d}x{\rm d}y 也并不是毫无意义，它是 {\rm d}x 与 {\rm d}y 的张量积 {\rm d}x\otimes{\rm d}y （tensor product），只不过张量积并不符合我们的需求。

原因很简单，我们需要的 {\rm d}x{\rm d}y 基本含义是两条邻边分别为 {\rm d }x 和 {\rm d}y 的平行四边形的有向面积。这里注意两个关键点：

1. 我们把 {\rm d} x 和 {\rm d}y 视作了两个向量，它们是互相垂直的，因此这个平行四边形就是一个矩形，另外，{\rm d} x 和 {\rm d}y 还构成了平面向量的一组基底（同理， {\rm d}r 和 {\rm d}\theta 也是；更准确地说是平面上某点处的所有切向量组成的向量空间的一组基底）；
2. 有向面积，这意味着 {\rm d}x{\rm d}y=-{\rm d}y{\rm d}x 。

而计算有向面积（乃至更高维的有向体积）时，我们使用的乘积应该是楔积（wedge product） {\rm d}x\wedge{\rm d}y 。

张量积和楔积这两种“乘法”，有相似之处，例如他们都有结合律，但差异也是很明显的：两个向量的楔积满足反交换律 {\boldsymbol a}\wedge{\boldsymbol b}=-{\boldsymbol b}\wedge{\boldsymbol a} ，这等价于幂零性： {\boldsymbol v}\wedge{\boldsymbol v}=0 ，后者的意义也非常明显：两邻边重合的平行四边形面积为 0 。但是对于张量积， {\rm d}x\otimes{\rm d} y 和 {\rm d}y\otimes{\rm d}x 是线性独立的，我们可以认为它们几乎没有任何关系。

因此我们的正确算法应该是 {\rm d}x\wedge{\rm d}y=(\cos \theta{\rm d}r-r\sin \theta{\rm d}\theta)\wedge(\sin\theta{\rm d}r+r\cos \theta{\rm d}\theta)=\sin \theta\cos \theta{\rm d}r\wedge {\rm d}r+r\cos^2\theta{\rm d} r \wedge{\rm d}\theta-r\sin^2\theta{\rm d} \theta \wedge{\rm d}r-r^2\sin \theta\cos \theta{\rm d}\theta\wedge {\rm d}\theta=0+r\cos^2\theta{\rm d} r \wedge{\rm d}\theta+r\sin^2\theta{\rm d} r\wedge{\rm d}\theta +0=r{\rm d} r\wedge{\rm d}\theta

这种两个微元相乘的做法，在微积分课本上一般表示的是二元积分，所以推导应该用楔积，也就是
dx\wedge dy=(\cos\theta dr - r\sin\theta d\theta)\wedge(\sin\theta dr + r\cos\theta d\theta)

展开，利用 dr\wedge dr=0,\quad d\theta\wedge d\theta=0,\quad dr\wedge d\theta =-d\theta\wedge dr

可得

dx\wedge dy=r\cos^2\theta drd\theta-r\sin^2\theta d\theta\wedge dr=rdr\wedge d\theta

与微积分教科书上的表述一致。

当然，如果不愿意使用楔积，用雅可比行列式所得的结果也是一样的。

至于为什么是楔积这样的运算规则，或者为什么是雅可比行列式？

用一种不严格，但是直观的说法。当你从一个标准的直角坐标系，映射到另一个曲线坐标系的时候，雅可比行列式中的列向量就表示映射过去的坐标系的方向和大小。

你在标准直角坐标系中的面积元或者体积元是 1dx\wedge dy ，那么映射过去之后，坐标系的方向发生了改变，相互之间可能就不成直角了；此外，坐标系的长度（严格来讲是微元的缩放比例）也不一定还保持为 1 。

所以，你就要乘以一个系数。这个系数肯定得和各个分量之间的偏导数有关 (\frac{\partial x}{\partial\theta}, \frac{\partial y}{\partial\theta}), (\frac{\partial x}{\partial r}, \frac{\partial y}{\partial r}) ，毕竟它们决定了方向和大小。

好了，现在你有两个由偏导数组成的向量了，它们怎么和面积或者体积挂钩呢？自然是行列式。

回想一下行列式的一些性质，其实就是一堆线性不相关的向量围成的平行四边形的面积，或者平行六面体体积的性质。(当然，这里的面积或者体积是有正负号的，如果不想带正负号，可以用矩阵乘以转置，再算行列式开根号。这种做法也能处理不是方阵的情形)

所以雅可比行列式就是这么来的。于是你在算二元微积分要做坐标变换的时候，就要乘以一个雅可比行列式了。

dx wedge dy，这样dr wedge dr那些都是0; 对dr wedge dtheta的两项用一下反称性就能加一起

要是疑惑这些运算法则怎么来的。你只要想通了，要定义一种新乘法，要保证dx乘dx这样，自己乘自己为0的新乘法，就能导出那个反称的要求。这个要求很直观，就是一条边围不出一个面

最后结果的符号别在意

这两下子够用了

补充一点我的瞎想，我以前也认为 dxdy=-dydx 是微分形式的“公理”，然后会用李代数之类的说服自己蛮合理的，后来我发现其实也是可以用其他“公理”推出来的，是这样的

df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy\\ ddf=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}dxdx+\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}dydx+\frac{\partial f}{\partial x}ddx+\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}dxdy+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}dydy+\frac{\partial f}{\partial y}ddy

你只需要 dd=0 就足够了。因为这个式子对一维也是成立的，所以 dxdx=0 ，偏导数没有次序，两边都要为零，自然就有 dxdy=-dydx

或者说这两者可以互推，只需要留下一个。我猜这可能是人们更倾向于把 dd=0,\partial\partial=0 刻在石头上的原因吧

PS:看到其他答案都带了不少私活，我也来点私货——如果微积分的任何地方你不能无脑操作的话，说明你没有理解它，相反，如果线性代数的任何地方你无脑操作了，同样说明你没有理解它。或者说，微积分不需要图像，线性代数才需要

如果你想要用代数进行推导 那你要先理解dxdy并不是我们常说的数量积 一般按照外积理解是最好的 在欧几里得空间也可以按照内积理解