这种两个微元相乘的做法，在微积分课本上一般表示的是二元积分，所以推导应该用楔积，也就是
dx\wedge dy=(\cos\theta dr - r\sin\theta d\theta)\wedge(\sin\theta dr + r\cos\theta d\theta)
展开，利用 dr\wedge dr=0,\quad d\theta\wedge d\theta=0,\quad dr\wedge d\theta =-d\theta\wedge dr
可得
dx\wedge dy=r\cos^2\theta drd\theta-r\sin^2\theta d\theta\wedge dr=rdr\wedge d\theta
与微积分教科书上的表述一致。
当然，如果不愿意使用楔积，用雅可比行列式所得的结果也是一样的。
至于为什么是楔积这样的运算规则，或者为什么是雅可比行列式？
用一种不严格，但是直观的说法。当你从一个标准的直角坐标系，映射到另一个曲线坐标系的时候，雅可比行列式中的列向量就表示映射过去的坐标系的方向和大小。
你在标准直角坐标系中的面积元或者体积元是 1dx\wedge dy ，那么映射过去之后，坐标系的方向发生了改变，相互之间可能就不成直角了；此外，坐标系的长度（严格来讲是微元的缩放比例）也不一定还保持为 1 。
所以，你就要乘以一个系数。这个系数肯定得和各个分量之间的偏导数有关 (\frac{\partial x}{\partial\theta}, \frac{\partial y}{\partial\theta}), (\frac{\partial x}{\partial r}, \frac{\partial y}{\partial r}) ，毕竟它们决定了方向和大小。
好了，现在你有两个由偏导数组成的向量了，它们怎么和面积或者体积挂钩呢？自然是行列式。
回想一下行列式的一些性质，其实就是一堆线性不相关的向量围成的平行四边形的面积，或者平行六面体体积的性质。(当然，这里的面积或者体积是有正负号的，如果不想带正负号，可以用矩阵乘以转置，再算行列式开根号。这种做法也能处理不是方阵的情形)
所以雅可比行列式就是这么来的。于是你在算二元微积分要做坐标变换的时候，就要乘以一个雅可比行列式了。