dxdy与drdθ的转化推导疑问？

补充一点我的瞎想，我以前也认为 dxdy=-dydx 是微分形式的“公理”，然后会用李代数之类的说服自己蛮合理的，后来我发现其实也是可以用其他“公理”推出来的，是这样的

df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy\\ ddf=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}dxdx+\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}dydx+\frac{\partial f}{\partial x}ddx+\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}dxdy+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}dydy+\frac{\partial f}{\partial y}ddy

你只需要 dd=0 就足够了。因为这个式子对一维也是成立的，所以 dxdx=0 ，偏导数没有次序，两边都要为零，自然就有 dxdy=-dydx

或者说这两者可以互推，只需要留下一个。我猜这可能是人们更倾向于把 dd=0,\partial\partial=0 刻在石头上的原因吧

PS:看到其他答案都带了不少私活，我也来点私货——如果微积分的任何地方你不能无脑操作的话，说明你没有理解它，相反，如果线性代数的任何地方你无脑操作了，同样说明你没有理解它。或者说，微积分不需要图像，线性代数才需要