补充一点我的瞎想,我以前也认为 dxdy=-dydx 是微分形式的“公理”,然后会用李代数之类的说服自己蛮合理的,后来我发现其实也是可以用其他“公理”推出来的,是这样的
df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy\\ ddf=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}dxdx+\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}dydx+\frac{\partial f}{\partial x}ddx+\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}dxdy+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}dydy+\frac{\partial f}{\partial y}ddy
你只需要 dd=0 就足够了。因为这个式子对一维也是成立的,所以 dxdx=0 ,偏导数没有次序,两边都要为零,自然就有 dxdy=-dydx
或者说这两者可以互推,只需要留下一个。我猜这可能是人们更倾向于把 dd=0,\partial\partial=0 刻在石头上的原因吧
PS:看到其他答案都带了不少私活,我也来点私货——如果微积分的任何地方你不能无脑操作的话,说明你没有理解它,相反,如果线性代数的任何地方你无脑操作了,同样说明你没有理解它。或者说,微积分不需要图像,线性代数才需要
编辑于 2024-05-07 03:07・IP 属地辽宁