特别地，Solovay 1971[1]的结果表明，公理体系“ZFC+这样的测度存在”有模型当且仅当公理体系“ZFC+可测基数存在”有模型。在这之前，Ulam, Banach, Kuratowski等人则证明过，如果这样的测度存在的话，那么连续统基数以下会有很多很多的弱不可达基数，所以连续统假设会错得离谱。

这里涉及到的证明都用到了很不平凡的集合论和测度论，感兴趣的读者可以参考Fremlin写的笔记：

参考

1. ^Solovay, Robert M. Real-valued measurable cardinals.Axiomatic Set Theory (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XIII, Part I, Univ. California, Los Angeles, Calif., 1967), pp. 397–428

第一，一个基本空间（即n维欧几里得空间R）以及这个空间的某些子集构成的集类即L（勒贝格）可测集或某L－S（勒贝格-斯蒂尔杰斯）可测集全体，这个集类对集的代数运算和极限运算封闭。
第二，一个与这个集类有关的函数类（即L可测函数或某L-S可测函数全体）。
第三，一个与上述集类有关的测度（即L测度或某L-S测度）。
在三个要素的基础上，它们都是运用完全类似的定义和推理过程获得完全类似的一整套测度、可测函数、积分的定理（见勒贝格积分、贝尔函数）。测度论正是基于这些基本共同点所形成一般理论。

测度理论可能是一个数形结合的重要理论，这是我的个人感受。

然后涉及到的概念是我需要学习ZFC和AC

ZFC也就是Zermelo和Fraenkel提出的ZF系统，AC是选择公理

所以我学习了一共九个公理的概念，而测度理论是一个将集合公理和几何概念可以链接起来的概念，因此问题中可以延申到平移不变性。因为平移不变性从字面意思应该是个数轴或者几何概念，而单纯的集合是没有平移不变性概念的。所以，这个问题首先用一个思路来说要将ZFC也就是两者在要么是数的集合，要么是几何的维度上才能同步思考。

因此我仔细看了后面的附加，发现可能是个逻辑推理题。

条件1：Vitali集不可测，Vitali集是依赖于Lebesgue测度的平移不变性

条件2：Borel集就可以直接用，复杂度高的集合就ban掉平移不变性

也就是说如果Vitali集甚至R的所有子集（所有有理数的子集）符合Borel集的条件就可以被ban掉来牺牲Lebesgue测度的平移不变性，那么我们首先要搞清楚Vitali集和Borel集是否存在包含和不包含关系。

还有一个问题较复杂的Borel集可以，这个较复杂的特征和定义是什么，都需要解决并缩小范围。

当然也应该分类讨论，如果两者存在某种条件下的包含关系，问题解决。

如果两者不存在包含关系，那比较满足条件再行定夺。

从文字上来看是这样，明天学习什么是Vitali和Borel集合

首先，我是一个文科生，这个问题也是有答案的，但我倾向自己用文字分析的方法来解决他，这才是有挑战性和创意的。

我目前的思路是证明没有平移不变性或者牺牲平移不变性的Vitali集合是否拥有可以ban掉的Boral集合的特征或者两者有没有包含和不包含关系，由此来推断这个疑问的肯定句是valid或者invalid。

明天有时间再了解这两个集合的知识。