ZFC之下，牺牲掉Lebesgue测度的平移不变性，能否让R的所有子集都可测？

如果你要的不仅仅是随便什么测度，而是拓展了Lebesgue测度的（即它在Lebesgue可测集上的测度就是Lebesgue测度），且在全部实数集上都有定义的测度（放弃了平移不变性）的话，那么这个东西的存在是ZFC无法判定的。它有大基数强度，而且蕴涵了连续统假设错得离谱。

特别地，Solovay 1971^[1]的结果表明，公理体系“ZFC+这样的测度存在”有模型当且仅当公理体系“ZFC+可测基数存在”有模型。在这之前，Ulam, Banach, Kuratowski等人则证明过，如果这样的测度存在的话，那么连续统基数以下会有很多很多的弱不可达基数，所以连续统假设会错得离谱。

这里涉及到的证明都用到了很不平凡的集合论和测度论，感兴趣的读者可以参考Fremlin写的笔记：

参考

1. ^Solovay, Robert M. Real-valued measurable cardinals.Axiomatic Set Theory (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XIII, Part I, Univ. California, Los Angeles, Calif., 1967), pp. 397–428