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ZFC之下,牺牲掉Lebesgue测度的平移不变性,能否让R的所有子集都可测?

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如果你要的不仅仅是随便什么测度,而是拓展了Lebesgue测度的(即它在Lebesgue可测集上的测度就是Lebesgue测度),且在全部实数集上都有定义的测度(放弃了平移不变性)的话,那么这个东西的存在是ZFC无法判定的。它有大基数强度,而且蕴涵了连续统假设错得离谱。

特别地,Solovay 1971[1]的结果表明,公理体系“ZFC+这样的测度存在”有模型当且仅当公理体系“ZFC+可测基数存在”有模型。在这之前,Ulam, Banach, Kuratowski等人则证明过,如果这样的测度存在的话,那么连续统基数以下会有很多很多的弱不可达基数,所以连续统假设会错得离谱。

这里涉及到的证明都用到了很不平凡的集合论和测度论,感兴趣的读者可以参考Fremlin写的笔记:

参考

  1. ^Solovay, Robert M. Real-valued measurable cardinals.Axiomatic Set Theory (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XIII, Part I, Univ. California, Los Angeles, Calif., 1967), pp. 397–428
发布于 2024-03-19 14:13・IP 属地美国
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