如果我们理论的规范对称性比较trivial：

当我们限定在场论在弱耦合区域，场论里的非微扰效应也是equation of motion的解。既然是EOM的解。你当然可以既用Lagrangian 表述，也可以用Hamlitionian 表述，因为这时候L到H的转换是普通的正则变换。注意对于Instanton，它是Euclidean spacetime上的解， 所以相关讨论有点subtle。

而对于强耦合的讨论，一般需要严格解，然后在严格解讨论“经典解”（你已经sum了所有量子修正，所以相关对象相当于处理一个经典理论）。这时候两个描述，谁容易解就用谁。

当我们理论的规范对称性不trivial：

在实际操作上，用Lagrangian表述更显优势，因为我们用成熟的引入ghost的做法。而Hamlitionian 则需要我们解constraints的操作。

自发对称性破缺可以只看vacua sector（因此动能项必须为0），所以只需要potential energy的信息就行。另一方面自发对称性破缺是针对的global symmetry，因此当你用semi-classical potential 分析的结论，somehow quantum 意义下也是成立的，due to the global symmetry。

只是在高维场论，在大尺度下的物理（far-infrared），导致domainwall的fluctation 被压低。因为我们localize在某个vacuum上。但没localize之前的UV-物理，我们可以用相关信息去预测（far-infrared）。而非微扰object domainwall，既真空到另一个真空的EOM的solution。