因为群的阶是在群同构下最基本的不变量。

有限群的阶可以反映群的许多性质，比如

1. Lagrange定理：子群的阶一定整除群的阶
2. Cayley定理：n 阶群可以嵌入 S_n
3. Cauchy定理：对群的阶的某些特殊的因子(素数)，存在这种因子阶的子群
4. Sylow定理：对群的阶的某些特殊的因子(素数的最高幂)，存在这种因子阶的子群
5. 实际上也有推广：对群的阶的某些特殊的因子(素数幂)，存在这种因子阶的子群
6. 群作用的理论也告诉你：轨道的阶也整除群的阶

表示论里也有基本结论：

1. 有限群的全部不可约复表示的次数的平方和就等于这个群的阶
2. 有限群的不可约复表示的次数整除群的阶

某些有限群的性质完全就由它的阶决定：素数阶群一定是循环群

而这种情况并不包含了全部： n 阶群只有一种(即必定循环)当且仅当 (n,\varphi(n))=1 .

还有某些有限群的性质几乎完全由它的阶决定：素数平方阶群一定是Abel群

有限群的很多性质都可以用"存在某些阶的子群"来描述。

比如：

1. n 阶群 G 循环 \iff 对 n 的每个因子 d ， G 里至多只有一个 d 阶子群
2. n 阶群 G 可解 \iff对 n 的每个素因子 p ， G 里有 p' -Hall子群(即阶为 n/p^{v_p(n)} 的子群)。

我们研究阶所引发的群的性质，可能是因为阶往往是最容易得到的不变量了。

与有限群 G 相联系的各种对象，比如共轭类，商群，特征群这些，大小往往也都是有限的，因此也能考虑它们的阶，这样一来它们的阶之间的关系就是比较基本的问题了。

这个问题如果深入地聊群论，恐怕你也不愿意听。

我来说点最基础的集合论，给一个集合，你最先想了解的是什么呢？我想这个集合“有多大”绝对是首先想到的问题，是无限还是有限？有限的时候有多少个元素？

好了，给你个群，你最先想了解什么？

代数本身关注的是所谓的代数结构。这么说，略显空洞。具体到群（以下的群都指有限群）而言，我们想知道的是群长什么样？最直白的刻画就是把群里面的元素挨个写出来，把乘法表写出来。然而，集合论已经告诉我们这么做虽然本质但是有些笨拙；因此我们要想方法去描述。一旦开始描述，我们就发现了一类最简单的群：循环群，它由一个元素不断自乘得到，乘若干次变成单位元。这个时候，群的阶在同构意义下就完全决定了这个循环群。

进一步的，我们知道循环群是交换群。那么我们能不能确定出所有的交换群呢？结论当然是能，这是后话，这个结果可以推广到主理想整环上有限生成模的结构定理。但是，给定一个群，我们怎么知道它是不是交换群？或者说，这个群的哪些性质可以决定它是交换群？我们已经知道，对于有限集而言，集合的元素个数是最底层的逻辑。因此，我们首先从群的阶出发，我们可以得到如下结论：

1.若群的阶是素数，那么它是循环群。

2.若 G 是 pq 阶群(其中 p，q 都是素数)，它就未必交换了，例如 S_3 。但是在 p\leq q,p\nmid(q-1) 的情况下，它一定是交换群。这个证明也不复杂，利用Sylow定理即可。

从交换群出发，我们可以堆叠出可解群。所谓的可解群， 就是一个下降的正规子群列（这里可能会有误解，我们指的是这个列里面的每一个群都是前一个群的正规子群），其商群都是交换群。这洋的对象是从Galois理论中发展出来的。那么，我们也需要给一些判别法，来帮助我们寻找可解群。当然，交换群都是可解群。稍微复杂一点，我们有Burnside可解群定理：

如果 |G|=p^mq^n, 这里 p,q 是素数, m,n 是整数，那么群 G 可解.

这是一个很不平凡的结论，利用表示论，可以给一个简短的证明。如果纯粹利用群论，不是件容易的事。

到此为止，我们可以给一个小结：研究代数结构的一个重要方法就是从简单的对象开始不断地叠床架屋，以期构造出更多乃至所有的对象。具体到群而言，群的阶是它最底层的逻辑，那么由它能完全决定的对象，也是最底层的对象，是我们进一步研究的出发点。

我们上面提到的表示论，在有限群的表示论中，我们有很多联系群的阶（包括共轭类的阶）和表示维数的结论。例如：

群 G 的任意不可约表示的维数整除群 G 的阶。更精细的，若 Z_G 是 G 的中心，群 G 的任意不可约表示的维数整除群 G/Z_G 的阶。
群 G 的所有不同构的不可约表示的维数的平方和等于群 G 的阶。
设 C\subset G 是一个共轭类. 如果 |C|=p^t>1, 那么 G 不是单群. (这一条在Burnside定理的证明中可以用到。

群的阶可以很大程度的锁定群的身份或者群的性质

锁定群的身份就是群分类，一个群阶数为n（有限）的群一定只有有限类

群的性质比如奇数阶群必可解，而偶数阶群一定有2阶元

至少可以了解这个群的局部的信息，这有助于增进对群的了解。