研究群的阶有什么意义？

因为群的阶是在群同构下最基本的不变量。

有限群的阶可以反映群的许多性质，比如

1. Lagrange定理：子群的阶一定整除群的阶
2. Cayley定理：n 阶群可以嵌入 S_n
3. Cauchy定理：对群的阶的某些特殊的因子(素数)，存在这种因子阶的子群
4. Sylow定理：对群的阶的某些特殊的因子(素数的最高幂)，存在这种因子阶的子群
5. 实际上也有推广：对群的阶的某些特殊的因子(素数幂)，存在这种因子阶的子群
6. 群作用的理论也告诉你：轨道的阶也整除群的阶

表示论里也有基本结论：

1. 有限群的全部不可约复表示的次数的平方和就等于这个群的阶
2. 有限群的不可约复表示的次数整除群的阶

某些有限群的性质完全就由它的阶决定：素数阶群一定是循环群

而这种情况并不包含了全部： n 阶群只有一种(即必定循环)当且仅当 (n,\varphi(n))=1 .

还有某些有限群的性质几乎完全由它的阶决定：素数平方阶群一定是Abel群

有限群的很多性质都可以用"存在某些阶的子群"来描述。

比如：

1. n 阶群 G 循环 \iff 对 n 的每个因子 d ， G 里至多只有一个 d 阶子群
2. n 阶群 G 可解 \iff对 n 的每个素因子 p ， G 里有 p' -Hall子群(即阶为 n/p^{v_p(n)} 的子群)。

我们研究阶所引发的群的性质，可能是因为阶往往是最容易得到的不变量了。

与有限群 G 相联系的各种对象，比如共轭类，商群，特征群这些，大小往往也都是有限的，因此也能考虑它们的阶，这样一来它们的阶之间的关系就是比较基本的问题了。