这次的初赛终于出了一些有点意思的题目，翻到最后可以看到我自己的答案。另外，我这个喵写数学证明的风格比较随手，和很多大佬不一样，我喜欢在写证明的时候保留脚手架，以便让人即便不看我的过程细节也能知道我在干什么。
总的来说，我认为这次的题目还是有一定难度，虽然很多问题本身叙述很高等，但是很多仍然可以通过巧妙的观察较为初等地解决。
另外，我很期待AI的表现。大胆预测一下AI能做对一个或两个选择（毕竟看起来比较好猜答案），然后大题就不好说了，要看它的知识库是否包含例如李代数表示具体的计算以及John椭圆的技巧，尤其是这里的中心对称情形（第四第五两题，不知道是否有文章具有直接的结论，如果没有的话AI仍然很难攻破。第三题的线性代数技巧太细，目前的transformer在数学问题上，很难给出完整严谨的证明，即便通过对语言模型做比较好的fine tune以及引导）。不过第六题应该是AI有希望做出来的。最后第七题AI可能难以写出对应距离的动力系统和映射，可能难以进行。
首先我们来简单观察一下每题都考察什么。
☆第一题，看不见的塔，考察组合几何，通过分析完全四边形和直线上的序得到证明，例如对塔EF和AB，那么连线EA和FB交点以及EB和FA交点，二者至多其一是符合条件的，所以一下就能证出来是12/2=6。这个题目是这一类凸性分析的组合几何问题中最“轻量级”的，比较适合作为选择题。
☆第二题，战机游戏，这个题考察的是连续时间的概率论和博弈论，尽管如果要严格地证明什么策略最优是数学上很困难的，但是通过某些“博弈常识”可以将问题变成例如函数和数列的最值。
其中第一小问可以完全离散地计算等待下一架敌机的得分期望。第二小问则较为困难，经过计算会发现这样一些“直觉”，例如：如果已经等了一会，敌机还没来，那么你应该一直等，否则早在当初“决定去等”的时候就要主动退出了。这不只是因为等的时间分数掉了是沉没成本，而且分数越少越应该“放手一搏”。
最后第二问的最优策略理应是，无论如何都等第一架敌机，打完后就跑，绝不等第二架，这样算出来准确概率是 \frac{17}8-\frac{17}{4e^2}\approx 2.07 。这也和上面的分析相符，最优策略一定是“很决绝”的。
☆第三题，线性映射作用在平面格点的【稠密性】。这个题两问可以有不同的看法。在一开始考虑的时候，很自然地使用特征值来计算，但是这不够优美！聪明的办法是，注意第一问迹0的2阶矩阵，平方一定是数量矩阵，这意味着像格点的“形状”只有两种。第二问我们只需要用Minkowski找一个很短的像格点，然后A作用上去就能得到一个线性无关的格点（数论在这里发挥了作用），这时候二者生成了一个基本平行四边形（在椭圆曲线等理论中，大家也管它叫fundamental domain），这个平行四边形两条边长度都很短，所以它本身也很小。
实际上第三题之所以能这么做，我们观察失败的例子会更直观，例如为什么对角线上放1，2的矩阵（特征多项式是 (x-1)(x-2) 可约）为什么不行呢？因为它的幂次下1那一侧没有增长，导致它的四边形在一个方向被无限拉长，而如果它是一个二次数域的子格（甚至是order），那么你可以用复乘一个代数整数真的造出basis。
☆第四题，一个看起来是线性代数具体计算的李代数表示论。这个题有两种攻克途径，对于数学物理学家来说，暴力计算找规律绝对是重要的研究手段，所以我一上来就写了一个mathematica代码来计算。但是同时，在看到题的一瞬间，这些系数应该使你隐隐约约感受到sl2表示的味道。于是计算的辅助下，你发现换元vi乘某个阶乘竟然能将它们直接对应sl2的2d＋1维的齐次多项式表示！
X=\left[\begin{matrix}0&1\\0&0\end{matrix}\right],\ Y=\left[\begin{matrix}0&0\\1&0\end{matrix}\right],\ H=\left[\begin{matrix}1&0\\0&-1\end{matrix}\right].
那么这时候你就只需要“构造字典”，就是把题目中的语言完全转化为sl2表示里的语言，首先是它的f，对应sl2表示的 (X+Y)/2 ，所以是半单元，它的特征值是标准的 H 的一半，一个小技巧是注意到半单李代数的Cartan子代数都是共轭的，所以其中的半单元可以通过内自同构变过去，所以特征值就是一半，而 2d+1 维表示的标准H特征值我们熟知是 -2d,-2d+2,\cdots,2d ，所以这里的f就具有一半的 -d,-d+1,\cdots,d 就是如同题目要求那样的特征值。这个内自同构甚至是一个对合，相当于李群SL2中元素 \frac1{\sqrt 2}\left[\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right] 的共轭作用，可以具体写出来，它就是
X\mapsto \frac12(H-X+Y),\ Y\mapsto \frac12(H+X-Y),\ H\mapsto X+Y.
剩下两个小问就是具体去算，然后找更多的规律了…我不知道有没有更多表示论背景，反正我是硬来的，知道背景的小可爱可以说一声。
☆第五题，本题是真正的组合几何与凸优化。首先要知道小学二年级就学过的，John 椭球的背景知识，不知道的小可爱们可以上wiki什么的搜一下。大概就是说，对于欧氏空间的一个有界凸集，存在唯一最小体积的外接椭球（这个椭球其实把凸集包裹得很好，很容易猜测它就是符合条件的解），但是有的小伙伴会说，不对啊，题目要求的是面积最小啊？这里就是这个问题特有的技术细节了。
对于中心对称的凸集 V ，利用John椭球的唯一性，我们其实可以证明出来John椭球 E 也得是中心对称的，然后接下来的技巧大概就是证明这个椭球的 1/\sqrt 3 倍实则内含（可以有切点）于凸集 V ，以及三角不等式的高维推广，得到包含的凸集其表面积也具有不等式关系。所以
A(E)\ge A(V)\ge A(E/\sqrt 3)=A(E)/3.
这里 A 表示表面积。实际上通过一些观察把问题化归为中心对称凸八面体的情况，可以证明 3 可以被换成更优的常数 \pi/\sqrt 3 ，这也是正八面体时的比值 A(外接球)/A(正八面体) 。
☆第六题，本题的背景是生成函数/Fourier变换/有限状态Markov过程。相比前面的问题来说，这个问题绝对是最友好的一道题，简单来说，我们应该指望最后的奇偶性应该是充分均匀的，在样本数很大的时候我们应该不大能得到什么奇偶信息。
那么证明这种结论的技巧有几种，首先最容易想的办法就是直接算，实际上因为是独立的Bernoulli分布，它的生成函数是极其容易求出来的，在此之后，计算奇偶无非就是代入 \pm1 然后取平均，一个硬币是取 1/2 的平均，本质上说一个硬币其实可以看作两个福，一个【正面福】和一个【反面福】。而对于多个福的情况，生成函数无非是多几个变量，往里代 \pm 1 的技巧是完全一样的。
再说说Markov过程的办法，实际上有这样一个结果，就是一个状态集的有限子集 S ，如果它是【封闭的】，也就是说从它出发到它外面的概率是 0 ，而且它是【可迁的】，也就是说这个子集中任意两个状态间在充分多步都有正的转移概率，那么从该子集开始者，最后一定会趋于稳定分布。最后如果它是【对称的】，即状态A一步到达B的概率等于B到达A的，这样稳定时落在每个状态的概率都是均匀的 1/|S| 。
利用这个结果，那么抛硬币就是两个状态，正面总量奇数和偶数。收集五福则要注意一下，因为题目问的是 2n 次抽取的极限，所以相当于一次开两个福。所以在总共奇偶的 2^5=32 种可能中恰好只有一半的情况是总量全为偶数的，剩下一半情况都是不会出现的，所以 |S|=16 ，于是最后的全偶概率就是 1/16 。
☆第七题，本题的背景是微分动力系统。只要写出来当前二人距离，到两个人各经过一次树下后新距离的函数，就会发现第一问的情况是，距离有一个不动点 d_0 ，然后距离 d<d_0 就会不断变小，距离 d>d_0 就会不断变大，因为圆周长是 1 所以最后距离变成 0,1 都算是两人相遇。
第二问懒得做了，摆烂了！！！实际上我在周日出去玩儿了，所以也没算最后一小问。粗看上去无非就像 x_{n+1}=\sin x_n 那道经典淑芬习题一样，只需要估个阶就完了，所以也不是很有兴趣和动力去做。
附上我的解答。
