结论还不好说，先说说目前搜集的信息，以供参考：
1，关于烧麦，在简中互联网上能找到的最早的记录，是元代的一篇文章（或者称为书）《朴通事》，《朴通事》也被认为是教朝鲜人说北京话的一本教材，文中出现了两次“烧麦”，都是讨论在大都（北京）吃什么。
第一次出现：“第二少卿。這衙門更是好湯食。可知每日兩個羊為頭兒，軟肉薄餅吃了，又吃幾盞酒之後，吃稍麥粉湯，卻痴棋子，或是淡粥，後頭擺茶飯，又吃一會兒酒，抬了卓子，才只掾吏們將文捲來，紫羅書案上展開，啟稟公事，頭到發落公事，直到日平西才上馬。”
第二次出现：“午門外前好飯店，那裡吃去來。咱各自愛吃甚麼飯各自說。過賣你來，有甚麼飯？官人們各自說吃甚麼飯。羊肉餡饅頭、素酸餡稍麥、匾食、水精角兒、麻尼汁經捲兒、軟肉薄餅、餅飠者、煎餅、水滑經帶面、挂面、象眼粸子、柳葉飠其子、芝麻燒餅、黃燒餅、酥燒餅、硬面燒餅都有。”
2，在内蒙古区情网有烧麦的记录。但是蒙文，我看不懂，有懂的朋友麻烦帮忙翻译下，说不定有答案：
3，不仅中国人吃烧麦，内蒙人吃烧麦，蒙古国也有烧麦。但仅仅外观接近烧麦，菜单上的称呼是“BUZZ”即“包子”。然而“包子”并非中国传统称呼，这一叫法在宋时期才出现，蒙古BUZZ和中国包子谁的历史更悠久则是另一个话题了，或许答案也可以用来指导关于烧麦起源的问题。
4，烧麦也是山西的传统名吃，在山西烧麦通常称为“稍梅”。这是一家稍梅店里挂出的关于烧麦的介绍，也提到了最早的出处来自《朴通事》。
5，我也问了太原朋友，据他讲烧麦在他们那就叫稍梅，从小吃，而且他认为全国的烧麦都是山西的稍梅演化的。于是我顺便搜了搜太原的大众点评，以及顺便搜了内蒙鄂尔多斯的，确实都有专营烧麦的餐厅。
6，在湖北人民政府网站上有一篇文章《烧梅与琪玛酥》，同样提到最早的记录来自《朴通事》，而且作者认为烧麦与沙琪玛都分别来自蒙语和满语。
以下是部分原文：
“烧卖在蒙古语族里对应词汇‘suumai’，在突厥语族里对应词汇‘shirme’。蒙古语族与突厥语族比较接近。突厥语族中‘shirme’意为口袋、皮囊，蒙古语族中‘suumai’指没有冷却的点心，均把烧卖食品主要特点揭示出来了。烧卖的确像皮囊，也的确是热吃点心。北方草原缺乏燃料，热吃的小吃显得很珍贵。”
文章链接：https://www.hubei.gov.cn/jmct/jcwh/csfy/202206/t20220602_4157999.shtml
但我通过google翻译找不到这个蒙语词，欢迎懂蒙语的朋友指教。
总结：
烧麦最早出现在元代的元大都（北京），但只有文字记载，彼时的烧麦是否就是今天烧麦的模样无从考证，是否出现借用传统名称命名后来事物的情况不得而知；烧麦（稍梅）在山西被认为是历史悠久的传统美食，在蒙古地区也有，山西邻近蒙古，是从蒙古传到山西，还是从山西传入蒙古有待考证；在蒙古国也有类似烧麦的面食，但在菜单上被写成包子，中间存在怎样信息转换和语言误差有待考证。
所以，烧麦（包括稍梅等其他称呼）属于中华美食，也可以看做是蒙古族食物的一种，但到底起源于蒙古族还是汉族，证据都还不够充分。