反对高赞回答所谓：谭父自身难保无法营救谭嗣同的说法，如果时间够用的话，是肯定能救的。
真实的历史是谭嗣同被抓后四天即被杀，他爸爸几乎没有应对的时间，因为谭嗣同本人就是给他爸传递京城消息的耳目，他被控制，所以他爸可能根本就不知道他儿子被抓。
当然了，题主湖广总督的说法是错的，他爸爸是湖北巡抚。
不想看细节，看到这就够了，以下是详细推导：
1.戊戌变法的时间线
9月18日，康有为决定杀慈禧，谭嗣同连夜说服袁世凯，袁世凯没同意，给谭打发走了。
19日，慈禧突然回宫，因为第二天光绪要召见伊藤博文，慈禧怕光绪让伊藤博文当维新党说的中日合邦的首相，或者请求日本的帮助。结果光绪除了礼仪话术外啥都没说。
20日，光绪再次召见袁世凯（上次召见是康有为举荐他，因此康有为找老袁），拐弯抹角告康有为的状：皇上小心，别让这帮瘪犊子把你害了。当晚老袁找荣禄告密。
21日慈禧发动政变，叫停变法，同时慈禧下令逮捕康有为兄弟，罪名是结党营私，莠言乱政。
此处有点争议，但主流史学观点是：政变并非是袁世凯告密导致的，而是慈禧先发出政变信号[1]，吓到袁世凯，老袁为了自保，揭发了这事。
这时候还没说抓谭嗣同，因此说老袁告密没影响。
24日，谭嗣同拒绝了去日本，被捕。
28日，慈禧未经审判，也没有公布罪名，就将他在内的六个人斩杀于菜市口。
次日才下发圣旨解释：
前日竟有纠约乱党，谋围颐和园，劫制皇太后，陷害朕躬之事。
康有为实为叛逆之首，现已在逃。著各省督抚，一体严密查拿，极刑惩治。举人梁启超，与康有为狼狈为奸。所著文字，语多狂谬，著一并严拿惩办。康有为之弟康广仁及御史杨深秀、军机章京谭嗣同、林旭、杨锐、刘光第等，实系与康有为结党，阴图煽惑。
2.懵逼的谭继洵
这道圣旨给维新党的行为定了性：康有为以下都是阴谋颠覆国家的坏分子，这是造反。
所谓纠约乱党，指的是谭嗣同邀请反清复明组织谋害慈禧太后。
所谓陷害朕躬，说的就是光绪和这个计划无关，其实光绪是有关的。
戊戌年电报已经很发达了，清政府也用，但也没快到手机这种程度。
21日慈禧发动政变，远在湖北的谭父能接到这个消息，但慈禧没说抓他儿子，他救什么。
24日他儿子被抓，就算他25日知道，但他在大清朝做官多年，觉得慈禧应该审一审吧，而且就算他想救，找人，写奏折等，也需要时间呀，三天够吗。
而且他有个靠山可以依靠-湖广总督张之洞，他的学生杨锐也在下狱的范围内。
而历史上张之洞确实一封接一封电报往北京发，请求留杨锐一命，可刑部尚书刚毅认为任何跟洋人有关的人和事都有罪，根本不管，还是杀了。
等28或者29号他得知自己被罢官、儿子被杀的消息后，他能不懵逼吗。
3.愤怒的家长
让谭嗣同的爸爸最生气的地方在于，谋划杀慈禧的最高负责人康有为、梁启超师徒竟然脚底板抹油，溜了，像康广仁是没跑了。
因此，谭嗣同死后，父亲给他的挽联是：
谣风遍万国九洲，无非是骂；
昭雪在千秋百世，不得而知。
他相信自己的儿子是被冤枉的，是康有为的替罪羊，当然他儿子的主张他是不赞成的，但他认为：这罪不致死吧，戊戌变法也没闹出什么不可挽回的后果呀，这就要杀我儿子吗。
另一位愤怒的家长就是慈禧了。
有人会问，慈禧为什么不审问就给杀了呢，其实慈禧要的就是这个效果。如果走正常的法律途径，这些人背后的势力就会跟慈禧死磕，到时候慈禧根本就没法收场。
戊戌六君子杨锐、谭嗣同、杨深秀这三个人都有很深的官场背景，谭嗣同他爸是湖北省省长、杨锐的老师是两江总督张之洞，杨深秀他老丈人也是省长，这都是正经的【官二代】，不是康有为那种臭要饭的。
你老佛爷不是说我家孩子谋反吗，咱们查，我动用官场关系跟你死磕，看看最后谁丢人。
因为你家儿子---光绪是我们这些孩子的首领，他们听圣旨办事，最后你不处罚你家孩子有你这么当领导的吗！
慈禧不可能承认自己的儿子要杀自己，所以只能在这些人反应过来前造成既定事实。
因此慈禧的圣旨说：倘语多牵涉，恐致株连。
其实慈禧和谭继洵一样，都知道谭嗣同等六人罪不致死，在慈禧看来，最不对的是光绪帝。
参考
- ^，御史杨崇伊上奏，慈禧采纳，加上大家都反对变法，慈禧又突然回宫，大家都知道老佛爷要动手了