为什么很多国家不与台湾当局建交，但却可以承认他们的护照？

何止“很多国家”承认啊？
就连大陆方面也承认啊！

冷知识：大陆方面承认对岸的小绿本
只不过，称呼变通，大陆方面称小绿本为“台湾地区旅行证件”，而不称“民国护照”或“台湾护照”。

有杠精可能会问：大陆承认的证件不是《台胞证》吗？
没错，大陆最认可的证件是《台胞证》。
但是，但是，但是……台湾人第一次申请台胞证的时候，以及换发/补发台胞证的时候，需要递交的材料，就包括“台湾地区身份证”或“台湾地区旅行证件”。
另外，台湾人在海外，向大陆使领馆求助，也可以出示“台湾地区身份证”或“台湾地区旅行证件”。
当然，大陆方面的工作人员，只是看一眼，不会在上面盖章或做任何标记。

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正如其他答主所说，大陆方面不反对台湾地区与其他国家进行经济、文化、体育等方面的往来。
台湾人出去旅游/留学/商务，运动员出去参赛，总得有个旅行证件啊。
所以，大陆方面默许“小绿本”的存在。