常微分方程存在级数解的条件是什么？

我先来抛砖引玉。

命题：如果一个常微分方程 $f(\mathrm d,x,y(x))=0$f(\mathrm d,x,y(x))=0 的次数为 $n$n ，并可以写成 $\mathrm d^ny/\mathrm dx^n=y的更低阶导数和可以展开成级数的x的函数的多项式$\mathrm d^ny/\mathrm dx^n=y的更低阶导数和可以展开成级数的x的函数的多项式 的形式，且这个方程的解 $y^\star(x)$y^\star(x) 满足在定义域 $(a,b)$(a,b) 中， $\exists K>0$\exists K>0 ，使得 $\forall x_1,x_2\in(a,b)$\forall x_1,x_2\in(a,b) ， $\left|y^\star(x_1)-y^\star(x_2)\right|\leq K\left|x_1-x_2\right|$\left|y^\star(x_1)-y^\star(x_2)\right|\leq K\left|x_1-x_2\right| ，则 $y^\star(x)$y^\star(x) 可以唯一地表示成级数解。

（完了想偷懒不想写证明了，这个证明和皮卡存在是一样的，可以由大佬们证明在评论区里头。）