如果一对夫妇只要生不出男孩就会一直生下去，平均生到第几个才会有一个男孩？

2 个

这实际上是一个负二项分布的特殊形式.

假设生男孩和生女孩的概率都是 \frac{1}{2} , 那么在第 a 胎才生出第一个男孩的概率是

\begin{align} P_a&=\Big(1-\frac{1}{2}\Big)^{a-1}\frac{1}{2}\\ &=\Big(\frac{1}{2}\Big)^a \end{align}

生出第一个男孩所需的生孩子胎数的期望为

\begin{align} E(a)&=\sum_{a=1}^{\infty}a\Big(\frac{1}{2}\Big)^a\\ &=2\sum_{a=1}^{\infty}a\Big(\frac{1}{2}\Big)^{a+1}\\ &=2\sum_{a=1}^{\infty}a\Big(\frac{1}{2}\Big)^{a+1}\\ &=2\sum_{a=1}^{\infty}\left[(a+1)\Big(\frac{1}{2}\Big)^{a+1}-\Big(\frac{1}{2}\Big)^{a+1}\right]\\ &=2\left[E(a)-\frac12\right]-\sum_{a=1}^{\infty}\Big(\frac{1}{2}\Big)^{a}\\ &=2E(a)-1-1\\ &=2E(a)-2\\\\ E(a)&=2 \end{align}

至于第是一个孩子才是男孩的概率, 那就很简单了, 前十个一定是女孩, 第是一个是男孩, 所以概率是

\begin{align} P_{11}&=\Big(\frac{1}{2}\Big)^{11}\\ &=\frac{1}{2048}\\ &=0.00048828125 \end{align}