已知生出每种性别的孩子的概率是1/2。
方法一（直接计算）：
第1次就生出男孩的概率是1/2，第2次才生出男孩的概率是1/4，第3次才生出男孩的概率是1/8，第4次才生出男孩的概率是1/16……
所以生孩子的次数的期望是： E(X)=\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\frac{5}{32}+…
这可以用错位相减法求。 2E(X)=1+\frac{2}{2}+\frac{3}{4}+\frac{4}{8}+\frac{5}{16}+…
计算2E(X)-E(X)，将2E(X)的每一项（首项除外）和E(X)的前一项相减得： 2E(X)-E(X)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+…
根据无穷等比数列的求和公式，E(X)=2。
方法二（列方程）：
设生孩子的次数的期望是E(X)，所以有两种情况：
①第一次生出男孩，概率是1/2，次数是1；
②第一次生出女孩，概率是1/2，次数是E(X)+1。
所以可以列出： E(X)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}(E(X)+1)
解得E(X)=2。
再附加一条：如果一个事件发生的概率是p，那么反复进行该随机试验，直到此事件发生为止，进行的次数的期望是1/p。
发布于 2023-06-17 11:19・IP 属地黑龙江