这个说法本身就是无稽之谈。
《元史刑法志》有明确规定：“诸杂造局院，辄与诸人带造军器者，禁之。”“诸打捕及捕盗巡马弓手、巡盐弓手，许执弓箭，余悉禁之。诸汉人持兵器者，禁之；汉人为军者不禁。诸卖军器者，卖与应执把之人者不禁。诸民间有藏铁尺、铁骨朵，及含刀铁拄杖者，禁之。诸私藏甲全副者，处死。”
这里说的刀具，是指军器，指弓箭、指铁尺、指铁骨朵，及含刀铁拄杖、盔甲等等军用器材。绝不是指切菜用的菜刀，以及砍柴刀、屠宰刀等等。
所以，说元代汉人“十户一菜刀”的说法，不过以讹传讹的谣言。
谣言的最早出处，是由崔高维执笔编写的《历代农民起义史话》。
1958年，由历史学家吴晗牵头，创议编一套大型普及性历史知识读物《中国历史小丛书》，该丛书含近三百种。《历代农民起义史话》为其中之一，收集了从秦末到清代十三次规模较大的农民战争，为政治服务的色彩非常浓厚。
元代汉人“十户一菜刀”的说法就出自“元末农民大起义”这一章。
但是，元朝官方史料，没有这一种说法。
反倒，很多可查事件可以推倒这一说法。
例如《元典章》卷四二中收录的一个案例，原文以下：
冠氏县申：归问到张记住状招：至元五年七月十二日晚，记住于驴屋内宿睡喂驴，妻王师姑于西屋北间宿睡。至五更起来，见妻王师姑对母阿高告说：“伊姑舅兄杨重二来房内暗地欺骗我来”。以此挟恨，将杨重二用刀子扎死罪犯。
王师姑与张记住招状相同。
状称：当夜五更，师姑床上睡着，有人将师姑惊觉。想是夫张记住，以此道：“明也，不做生活去啊，却来睡则么？”本人不曾言语，上床将师姑奸罢，师姑将手摸着头秃，才知是杨重二。本人走了，告说婆阿高。是实。
法司拟：旧例，强奸有夫妇人者绞。今被张记住用刀子扎死，即是杀死应死人。捕罪人已就拘收，及不拒捍而杀，各从斗杀伤法。用刃者以故杀伤论。罪人本犯应死而杀者徒五年。其张记住合徒五年，决徒年杖一百。部拟：杖一百七下。省准。断讫。
这个案例说的是：冠氏县（今山东冠县冠城镇）有一个名叫张记住的养驴专业户，其在至元五年七月十二日晚上在驴舍喂驴、守驴，留下妻子王师姑在西屋北间独睡。哪料，张记住的姑舅表兄杨重二来了，偷摸入屋玷污了熟睡中的王师姑。王师姑开始时以为是丈夫，到后来摸到杨重二的头，发现了生了癞痢的秃头，又羞又气，跑向婆婆阿高氏的房内哭诉。张记住知道此事后，拎刀子把强奸犯杨重二捅死了。
最后，判罚的结果是：强奸有夫之妇的人，应该判处绞刑，但杨重二已被张记住用刀子扎死，即是应死人已被杀死了。张记住杀人，按“用刃者以故杀伤论”，杖一百七下。
案例并不复杂，但我们应该注意其中两个细节：一、张记住家里有刀，而从其“扎”死罪犯而不是“砍”死罪犯的行为看，甚至还不是菜刀，很有可能是屠宰牛驴的屠宰刀；二、官府对张记住和处罚只针对其杀人行为，而对其家里拥有屠宰刀之事一字不提。
据此可知，元代汉人“十户一菜刀”的说法实为无稽之谈。
当然，如果这种说法确实存在过一段时间，我们就不要有那么多猜想了。十户可以一起做饭，大锅饭吃着也香。或者做一些不怎么需要刀具的，比如米面馒头这些用不着刀，炒菜需要切菜，这个没办法。切肉就算了，一年也吃不了几回肉。所以影响也不是那么大。（我没有开玩笑，真做到十户一把刀，还是能好好活下去的。）
不过这种事情也说明元人统治的严苛。这才是提问者所考虑的吧