虽然题主问题是写“抗日战争解放战争的时候八路军新四军解放军”，但在问题描述里却问的是“长征路上过雪山走草地休息的时候允许打猎吗”，正巧我知道一个“革命军队以打猎改善伙食”的案例，也便分享一下。
言归正题，题主问“长征路上过雪山走草地休息的时候允许打猎吗？”，这种事其实不用“以常理推测”，在红军长征时期“允许打猎”是确实发生过的事，且规模不小，打猎的目标、原因，也超越“改善生活”的需要，属于“生活必需”。
例如张国焘率领四方面军另立中央时期，大批红军部队驻于西康高原地带，当地人烟稀少、物产贫瘠，仅靠征购民食远不足供应红军，于是张国焘先下令“用竞赛的方法”搜掘野生“人参果”，“人参果”搜掘一空后，便是“派战士去猎禽兽和打鱼”
蔬菜在这一带亦极缺乏，生产量供给藏人已感不足，我们来了之后，每天吃的都是青稞牛肉牛酪之类，没有蔬菜是相当严重的问题。所幸当地盛产一种野生的根科植物名叫人参果(也许西游记上所说猪八戒吃的人参果，就是这一类东西)，可以佐餐。我们用竞赛的方法，鼓励战士们去搜掘，每人每天可掘得十几斤或更多些，最高纪录曾达到五十斤。人参果和青稞煮在一块吃，相当可口，而且也很富营养。不过我们人数太多，这种野生植物，经过我们大量搜掘之后，不久也就稀少了。此外，我们也派战士去猎禽兽和打鱼，但藏人迷信甚深，看见我们的战士去渔猎，往往有不乐意的表示。
《我的回忆》第七篇 由分到和 第一章 在西康
而在《中国工农红军第四方面军战史资料》中，我们能找到更多四方面军部队“渔猎生活”的细节。
1936年《新闻材料》第79期上所登的文章《草地行军中模范的八十八师》，在罗列八十八师过草地“先进经验”时就提到，该部在13天的无人区草地行军中用采摘野菜、钓鱼、打猎的办法“大量节省干粮”，并将节省下的粮食用于支援二、六军团
（3）准备干粮和干柴不仅达到高级机关的号召而且增多，例如阿坝出发预备到包座有十三天的草地行军，这一路都是无人烟、粮秣，同时有几天柴火都很缺乏，他们每天规定准备十五斤干粮四斤柴，连队中的战士大部分准备了二十五斤，同时沿途采用扯野菜，钓鱼，打猎的办法，还大量节省干粮，将打牛厂所得的牛羊除自己携带之驮牛，都大量的节省来帮助二军的干粮，通过草地到达包座以后检查起来，有些战士还有十五斤干粮。这便证明八十八师此次草地行军做了充分的准备工作，战士对于节省干粮拥护二、六军的观念非常深刻。
《草地行军中模范的八十八师》1936年 载于《中国工农红军第四方面军战史资料选编（长征时期）》
再如1936年7月12日时任四方面军政治部主任的王新亭所作关于部队思想情况的报告，当中提到31军独立师曾断粮一天，但部队指战员“很热烈”的扯野菜、捕鱼，用这样的方式解决基本的吃饭问题。
此地最近工作情况：
（一）已接近的有九军、三十一军、四军之指战员，政治情绪非常高，艰苦奋斗精神真好。三十一军部队有的饮冰寝雪而无减员；三十一军独立师有一天无饭吃，最后扯野菜、捕鱼，很热烈。 （二）已过的部队本部协同指挥部普遍举行活动分子军人大会，北进政治工作，进行了广大动员，解释抗日反蒋高潮、党的统一、敌我力量、党的战略方针等胜利。中心口号：“打到甘南去，消灭毛炳文、王均，响应民族革命新高潮！”又普遍举行晚会和连队工作检查。
《王新亭关于四、九、三十一军行军中的政治情绪致陈昌浩、李卓然电》1936年7月12日 载于《中国工农红军第四方面军战史资料选编（长征时期）》
大别山时期便参加红军、1936年在四方面军妇女营工作的女红军吴朝祥则回忆，过草地时妇女营承担有转运伤员的任务，但是“上级不发给养”，伤员和妇女同志都只能自己解决食物。
而在大藏寺时期，伤员集中，妇女营为保障伤员吃食，除了挖野菜，便是偶尔打猎，捕猎野牛、猪、鹿，肉和内脏按纪律上交统一分配，剩下的肉皮则全部拿给伤员。
负责转运伤员的同志，更是不惜一切地为伤员。那时抬伤员是包干的，上级不发给养，每到一处，同志们就到处寻找野菜，设法给伤员搞些吃的。有些伤员嘴打坏了，负责转运的同志，就先自己嚼碎了，然后一口口地喂下去。有一次，抬伤员走到马塘山半坡，发生了空袭，一颗炸弹看着落了下来， 战士苟贵英同志扑在伤员身上，以自己的身体挡住了爆炸的弹皮。她英勇的牺牲了。被她救活的伤员，是一位指导员，哭得泣不成声。
在大藏寺住的时候，伤员都集到了那里，吃的很成问题。我们白天到处挖毛芋、麻根、葛根、松根、青苔菜与苦麻菜，晚上回来用锅炒干，揉成粉子供给伤员。有时也打了一些野牛、猪、鹿等野兽来，只把皮留下来，煮了分给各连改善生活，肉和五脏都上交了。我们平日吃的都是最坏的野菜。
《长征时期红四方面军妇女武装斗争》吴朝祥 载于《中国工农红军第四方面军战史资料选编（长征时期）》
在四方面军之外，1936年7月与四方面军甘孜会师的二方面军部队也曾以“渔猎”获取食物。
1936年12月，时任二方面军政治部主任甘泗淇所作《与四方面军的会合到通过草地》报告中，提到二方面军“在甘孜、东谷时给养并未带得充足，沿途河水澎涨又迟延两天，以致给养不够”，到达阿坝后也因前方部队早已将粮食筹尽，整支部队陷于粮荒的困境。
在如此困境下，二方面军部队不得不在节省粮食运动里动员指战员采野菜充饥，到最后几天既无粮食又无野菜时，“发动钓鱼作为补充食料”，以钓鱼来作为救命之食。“渔猎”在此时便是维持生存的必需活动了。
D、节省粮食运动也做到了一些工作：各首长亲自在连上帮助称粉子，与开会通过每人每天少吃多少两粉子和多少两野菜（有的最后几天连每人三两都没有吃的）；按时开饭不准自由吃粉子，曾组织了检查队，在路上检查，与无故消耗粮食的现象作斗争；动员指战员热烈摘野菜充饥，进行了比赛作为补充食料，但有些地方，特别在阿坝通包座路上有许多地方无野菜，或则很少，被前头部队摘完了，所以最后几天既无粮食又无野菜，真是很难支持下去；发动钓鱼作为补充食料，草地鱼易钓，很多人都可钓到，但无盐无油，其味很腥，草地粮食很缺乏，特别是前头部队很多，我们采取各种办法，才勉强渡过了这一难关，但由于工作做得不深入，表现有不少的落后分子偷粮食，对这一现象亦曾作过一些斗争。
《与四方面军的会合到通过草地》1936年12月19日 载于《中国工农红军第四方面军战史资料选编（长征时期）》
过草地时红二方面军参与钓鱼的指战员，更是从上到下近乎无人不钓。时任噶曲河兵站站长的杨以升的回忆文章《葛曲草原设兵站》中提到，大约1936年6月末7月初时，兵站收集的牦牛被番人骑兵抢走大批。这批牦牛原本是为即将到来的二方面军准备，损失不少，兵站为二方面军部队提供的食品不得不大打折扣。
而贺龙得知此事，只表示“算了”，随后又拒绝给他的一份牛肉，以钓鱼“改善生活”，“从那以后，听说贺龙总指挥每天在行军休息时就跑到水塘去钓鱼”
贺龙的这个钓鱼，倒是真的“改善生活”了！
我跑步向前说：“报告总指挥，是我。”接着，他详细地问我关于分牛羊的事。我就将分发的情形和遭到敌人抢劫的事，向他作了报告。贺龙总指挥听说敌人抢走了牦牛，看着我们惭愧的样子，将一只手向下一捶，说：“算了，天大的困难也不能阻止我们前进。”接着，把我们召集在一起，重新研究供应问题。他仔细地计算了现存的牛羊数和后面部队的人数，最后决定：“把原来打算发给每人六天食用的六斤牛羊肉又减少了些，动员部队多想办法，多钓鱼，少吃牛羊肉。我们当即遵照执行了。将肉重新分过后，也给贺龙总指挥分出一份。我拿着这份肉正准备交给警卫员同志去煮，却被贺总指挥看到了。他说：“拿回去！”
我想：这么远的路，他不吃东西怎么能行呢！说什么也不肯把肉拿回去。贺总指挥这时从我手里把肉拿过去，亲自送回原处，对我说：“同志，别替我发愁，我的伙食我自己办理，留着那份肉发给后面的同志！”我问他有什么办法，他仰头笑了，用手比划了一下钓鱼的姿势说：“看吧，我们还要改善生活呢！”
从那以后，听说贺龙总指挥每天在行军休息时就跑到水塘去钓鱼。
《葛曲草原设兵站》 载于《中国工农红军第四方面军战史资料选编（长征时期）》