复数的乘法为什么会定义成这副样子？

在扩展已有概念的时候首先尝试的自然是沿用已有的性质。我们假设有这么一个对象 $\mathrm{i}$\mathrm{i} 满足 $\mathrm{i}^2 = 1$\mathrm{i}^2 = 1 ，首先会认为它有着和实数一样的四则运算性质（分配律、交换律、结合律等，不然应用起来会非常困难，将质疑这个新定义的价值），但它肯定不是实数，那么加法 $a + \mathrm{i}\,(a \in \mathbb{R})$a + \mathrm{i}\,(a \in \mathbb{R}) 就只能保持这样的形式，无法化简，就仿佛 $\mathrm{i}$\mathrm{i} 是一个未知量一样；乘法同理。此时自然有

$$\begin{aligned} (a + b\mathrm{i})(c + d\mathrm{i}) &= a(c + d\mathrm{i}) + b\mathrm{i}(c + d\mathrm{i}) \\ &= ac + ad\mathrm{i} + bc\mathrm{i} + bd\mathrm{i}^2 \\ &= (ac - bd) + (ad + bc)\mathrm{i} \end{aligned}\\$$ \begin{aligned} (a + b\mathrm{i})(c + d\mathrm{i}) &= a(c + d\mathrm{i}) + b\mathrm{i}(c + d\mathrm{i}) \\ &= ac + ad\mathrm{i} + bc\mathrm{i} + bd\mathrm{i}^2 \\ &= (ac - bd) + (ad + bc)\mathrm{i} \end{aligned}\\但这终究是一个启发性的探索，并没有严格说明满足这种性质的 $\mathrm{i}$\mathrm{i} 存在。

不难注意到 $a + b\mathrm{i}\,(a, b \in \mathbb{R})$a + b\mathrm{i}\,(a, b \in \mathbb{R}) 与 $(a, b) \in \mathbb{R}^2$(a, b) \in \mathbb{R}^2 是一一对应的，自然可以把复数乘法定义为
$$\begin{gathered} {\times} : \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \\ (a, b) \times (c, d) \to (ac - bd, ad + bc) \end{gathered}\\$$ \begin{gathered} {\times} : \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \\ (a, b) \times (c, d) \to (ac - bd, ad + bc) \end{gathered}\\然后可以逐个验证这个定义真的满足交换律、结合律、分配律等数域的性质，这才证实了我们的猜测。最后定义 $\mathrm{i} = (0, 1)$\mathrm{i} = (0, 1) 即可。

数对的思想其实不仅限于复数。假设我们已经定义了自然数相关的一切运算，在定义整数时，整数可以表示成一个自然数对 $(a, b)\,(a, b \in \mathbb{N})$(a, b)\,(a, b \in \mathbb{N}) ，在直觉上它表示 $a - b$a - b ，那么两个整数相等时，即 $a - b = c - d$a - b = c - d 时自然有 $a + d = b + c$a + d = b + c ，于是整数 $(a, b)$(a, b) 与 $(c, d)$(c, d) 相等（被定义为）当且仅当 $a + d = b + c$a + d = b + c ，这个定义只涉及自然数加法，且乍一看和整数之差的关联没那么强，但它确实是由一些不严谨的直觉引导出来的。