2333333，扯远了，题主所说的情况，维根斯坦不承认哥德尔不完备定理，学界中指的是维根斯坦的作品《数学奠基评述》(Remarks on the Foundations of Mathematics，维根斯坦研究文献中常见缩写为RFM)，其中附录3的第8小节，又称“臭名昭著自然段”(the notorious paragraph)

I imagine someone asking my advice; he says: "I have constructed a proposition (I will use 'P' to designate it) in Russell's symbolism, and by means of certain definitions and transformations it can be so interpreted that it says 'P is not provable in Russell's system'. Must I not say that this proposition on the one hand is true, and on the other hand is unprovable? For suppose it were false; then it is true that it is provable. And that surely cannot be! And if it is proved, then it is proved that is not provable. Thus it can only be true, but unprovable."
我可以想象一个人对我说：“我在罗素的系统中构造了一个命题（我拿‘P’指代它），它的构造和各种等价变化使得我们可以将它解读为‘P在罗素的系统中不可被证明’。那此时我是不是就应该声称这个命题一方面是真命题，另一方面又是不可证的命题呢？因为你想想看，如果它不是真命题，那就说明‘P在罗素的系统中可证明’是真命题，那这又肯定是不可能的 (译者注：因为如果P在罗素的系统中可证明，那么根据开头的等价解读，罗素系统就证明了‘P在罗素系统中不可证明’)；另一方面，如果它可以被证明，那么我们就证明了它不可被证明；所以结论就是P是一个真而不可证的命题”
Just as we ask, "'Provable' in what system?", so we must also ask, "'true' in what system?" 'True in Russell's system' means, as was said: proved in Russell's system; and 'false in Russell's system' means: the opposite has been proved in Russell's system. – Now what does your "suppose it is false" mean?In the Russell sense it means 'suppose the opposite is proved in Russell's system'; if that is your assumption you will now presumably give up the interpretation that it is unprovable. And by 'this interpretation' I understand the translation into this English sentence. – If you assume that the proposition is provable in Russell's system, that means it is true in the Russell sense, and the interpretation "P is not provable" again has to be given up
（面对这样的问题）我们完全可以问“‘可证’指的是在什么系统里可证？”，我们同样也需要问“‘真’指的是在什么系统里真？”当我们说一个命题“在罗素的系统中为真”，我们的意思就是这个命题能在罗素的系统中被证明。那么，你所说的“如果它不是真命题”是什么意思？在罗素系统的意义上，这句话的意思就是“假设它是罗素系统的定理”；如果你都已经假设这个了，那你按理来说应该是要放弃掉“它说自身不可证”这个解读。当然，这里的“解读”，我指的是把数学语句翻译成英语的这个解读方法。如果你假设这个命题（命题P）在罗素的系统中可证，那么你就无法将它解读为“P不可证”。

这一段内容经常被人引用来阐述维根斯坦对哥德尔不完备定理的看法。与其说他不承认不完备定理，不如说他不承认哥德尔写出了一句“真而不可证”的命题。而后者也是趣味科普读物中常见的对哥德尔不完备定理的误解，可见维根斯坦也不能免俗。

也是因为如此，许多逻辑学家也以此为证据来说明维根斯坦完全没有理解哥德尔不完备定理。实际上，对于熟悉哥德尔不完备定理的人来说，维根斯坦此处犯的是在不完备定理上民科们最常犯的错误，那就是混淆了“真”和“可证性”。

我们回顾一下哥德尔第一不完备定理。在哥德尔原版的工作中，他在罗素&怀特海的Principia Mathematica (PM)所采用的形式语言里，写下了一个纯粹关于自然数的数论命题P，并且证明了：

1. 如果PM是无矛盾的，那么P将不会是PM的定理
2. 如果PM是ω-无矛盾的，那么not-P也不会是PM的定理

“ω-矛盾的”指的是这样一个性质：我们的系统语言里有0这个符号，并且有s作为后继函数的符号，然后有一个关于自然数的性质 $\varphi(x)$\varphi(x) 使得我们的公理体系能够证明 $\varphi(0),\varphi(s0),\varphi(ss0),\varphi(sss0)...$\varphi(0),\varphi(s0),\varphi(ss0),\varphi(sss0)... ，但是我们的公理体系同时能证明 $\exists x\neg\varphi(x)$\exists x\neg\varphi(x) 。这样的公理体系虽然反直觉，但是的确存在这样的系统。“ω-无矛盾的”则是指这种情况不会发生。

（后来Rosser修改了一下哥德尔的证明，将1和2的前提假设统一成了“如果PM是无矛盾的”）

虽然在写下P和证明P必须等价于哪些命题的过程中，以及证明它不会是PM的定理时，我们的确可以将P理解作“P不可证”，以此来帮助我们思考，但究其根本，P仅仅是一个冗长却巧妙的数论命题而已，它的“数学程度”跟“每个自然数都能被写成有限个素数的乘积”一样，都仅仅是关于自然数的命题。

只是通过自然数算术的语言，我们可以假装我们在讨论有穷字符串（通过讨论它们的Unicode编码或者ASCII编码之类），所以我们可以假装我们在讨论有穷字符串之间的转换，而这种有穷字符串的转换行为其中一个特例就是“数学公理推论定理”这个事情，所以我们才会说哥德尔写出了一句“这句话不可证明”的语句。

但就算我们把这类算术命题看作是关于形式系统的命题，我们也没有必要（实际上也很难下手）去把这些关于字符串的命题跟任何意义上的“真”联系在一起。极端点说，就算我能在某个公理体系内证明“存在一个自然数，它编码了从皮亚诺算术公理出发，结尾是0=1的这样一条合法证明”，我也没有办法保证这样一条证明是被0编码，或者被1编码，或者被2编码，....，实际上，对于任意形如s...s0的自然数（也就是老生常谈的标准自然数），完全有可能它们都不编码这样一条证明（换句话说，我的公理体系可能是ω-矛盾的；被证明存在的，编码了0=1的证明的那个自然数是个非标准自然数）。所以在大多数文献的评论者看来，维根斯坦的评论体现了他对哥德尔工作的技术细节和其中涉及的技术性概念并不熟悉。

但是也有人反过来（这里最具代表的就是Juliet Floyd和Hilary Putnam合作的A Note on Wittgenstein's "Notorious Paragraph" about the Gödel Theorem），说维根斯坦实际上针对的不是“哥德尔是否给出了一个真而不可证的命题”，而是“哥德尔给出的句子是否应当被理解为‘这个句子不可证明’”。换句话说，我们上文中“通过讨论它们的Unicode编码或者ASCII编码之类，从而假装我们在讨论有穷字符串，进而我们可以假装我们在讨论有穷字符串之间的转换”这个“假装”做法在某一步时脱离了本义，导致我们面对这些数论语句时，错误地将它们理解做关于字符串编码的命题，但实际上它们并没有向我们揭示任何关于字符串编码的事实。

当然咯，这也仅仅是我粗略地部分总结，忽略和简化了很多技术性细节，具体感兴趣的读者可以从Floyd & Putnam出发，看别人对他们的回应，再看他们对这些回应的回应，以此来了解一下各方观点。这个话题上的文献比较空白，是个挺适合本科生写论文的选题。

我就记得那学期同时在逻辑课上学完了哥德尔不完备定理，然后觉得自己好像什么都懂了，很有见解，结果最后还是因为拖延症拖到最后一两天来东拼西凑胡扯了一堆。当时定了机票去瑞典玩，全文基本上就是在飞机上和落地后的青旅里面赶出来的，现在既记不起来写了啥也找不到当时的pdf了。就记得落地那天下雪，又是诺贝尔奖晚宴，然后我和我女盆友都是长期居住在不下雪的地方，于是我们就找了个市政厅附近的公园，多次尝试堆雪人失败后，在遛狗市民关怀智障的眼神中打起了蹩脚的雪仗。现在想想，的确是比维根斯坦有意思的多。