“任两个实数之间都至少有一个有理数”，为什么不是任意2个实数之间一定存在无数个有理数。？

这不是小学二三年级知识吗？看来目前教育的倒退非常明显，人类整体智力发展呈返祖模式。

证明:

1)

往证(a,b)之间包含一个有理数c.

令x=b-a>0

根据实数定义的阿基米德公理,存在一个整数n>1/x,所以x>1/n.

不妨设b>0,(否则考虑区间(-b,-a),其中-a>0)

则存在整数k>0,

使得b小于或等于k/n,设h是满足b小于或者等于h/n的最小整数.

则(h-1)/n<b,我们断言(h-1)/n>a(否则1/n大于或等于(b-a),与n的定义矛盾)

所以,(h-1)/n为(a,b)内的有理数.

注:由于(a,b)之间包含一个有理数c,则(a,c)之间也包含一个有理数d,依次类推,(a,b)之间包含无穷个有理数.

2)

往证(a,b)之间包含无穷个无理数.

大家知道有理数集是可数的,而(a,b)是不可数的,所以(a,b)内的无理数集肯定是不可数的

也即有无穷多个.

证毕.