讲概率、论统计，肯定要从抛硬币说起啊，这才是正确打开姿势嘛。

1 什么是假设检验？

你说你的硬币是公平的，也就是“花”和“字”出现的概率是差不多的。

然后，你想和我打赌，作为一个资深的理智赌徒，我怎能听信你的一面之词，我提出要检查下你的硬币到底是不是公平的，万一是两面“花”怎么办？电影里面不是经常出现这样的桥段？

你神色紧张，死活不让我检查，后来我们提出了折衷的方案，抛几次硬币，看看结果是不是公平的。

总共扔了两次，都是“花”朝上，虽然几率是 $0.5\times 0.5=0.25$0.5\times 0.5=0.25 ，但是也正常，继续扔。

总共扔了四次，也都是“花”朝上，几率是 $0.5^4=0.0625$0.5^4=0.0625 ，感觉有点不正常，但是万一是运气呢？继续扔。

总共扔了十次，也都是“花”朝上，那我就认为很可能你这枚硬币不是公平的。

这就是假设检验：

• 你提出假设：说你的硬币是公平的
• 我提出要检验你的假设：扔十次，看实验的结果是不是和你的假设相符

2 P值

为了完成假设检验，需要先定义一个概念：P值。我们这里就来解释什么是P值？

根据上面的描述，这里假设检验的思路就是：

• 假设：硬币是公平的
• 检验：认为假设是成立的，然后扔十次，看结果与假设是否相符

反复扔硬币应该符合二项分布（这就不解释了），也就是：

$$X\sim B(n,\mu )\\$$ X\sim B(n,\mu )\\

其中， $n$n 代表扔硬币的次数， $\mu$\mu 代表“花”朝上的概率。

在我们认为硬币是公平的前提下，扔10次硬币应该符合以下分布：

$$X\sim B(10, 0.5)\\$$ X\sim B(10, 0.5)\\

下图表示的就是，假如硬币是公平的情况下的分布图：

我扔了十次之后得到的结果是，有八次正面：

这个时候有个数学大佬出来定义了一个称为 $P$P 值（p-value)的概念：

把八次正面的概率，与更极端的九次正面、十次正面的概率加起来：

得到的就是（单侧P值）：

$$\text {p-value}=P(8\leq X\leq 10)=0.05\\$$ \text {p-value}=P(8\leq X\leq 10)=0.05\\

其实，出现两次正面、一次正面、零次正面的概率也是很极端的：

所以（双侧P值）：

$$\text {p-value}=P(0\leq X\leq 2)+P(8\leq X\leq 10)=0.1\\$$ \text {p-value}=P(0\leq X\leq 2)+P(8\leq X\leq 10)=0.1\\

2.1 为什么要把更极端的情况加起来？

根据扔硬币这个例子，可能你会觉得，我知道八次正面出现不正常就行了，干嘛要把九次、十次加起来？

我觉得有这么一个现实原因，比如我要扔1000次硬币来测试假设是否正确。