控制系统中的零极点有什么物理意义么？

什么是零点？

什么是极点？

为什么零点之后按照20dB/dec变大？

为什么极点之后按照-20dB/dec减小？

...

我们用两个RC电路来回答上述问题。Let's Go！

一、极点

RC电路一：

拉普拉斯变换（s域）下，电容C的阻抗值为 $\frac{1}{sC}$\frac{1}{sC} 。我们可以将电容看作是一个“电阻”参与分压。

于是我们有： $$V_{out}(s)=V_{in}(s) \frac{\frac{1}{sC}}{R+\frac{1}{sC}}\\$$ V_{out}(s)=V_{in}(s) \frac{\frac{1}{sC}}{R+\frac{1}{sC}}\\ 于是传递函数为： $$H(s)=\frac{V_{out}(s)}{V_{in}(s)}=\frac{\frac{1}{RC}}{s+\frac{1}{RC}}=\frac{\omega_0}{s+\omega_0}\\$$ H(s)=\frac{V_{out}(s)}{V_{in}(s)}=\frac{\frac{1}{RC}}{s+\frac{1}{RC}}=\frac{\omega_0}{s+\omega_0}\\

根据极点的定义，极点的位置应该为： $s=-\omega_0$s=-\omega_0 。负频率在现实情况下并不存在，我们取模得到正频率。

令 $s=j \omega$s=j \omega 就从拉普拉斯变换变为了傅立叶变换：

$$H(j\omega)=\frac{\omega_0}{j\omega+\omega_0}\\$$ H(j\omega)=\frac{\omega_0}{j\omega+\omega_0}\\那么传递函数的幅值为： $$｜H(j\omega)|=\frac{\omega_0}{\sqrt{\omega^2+\omega_0^2}}\\$$ ｜H(j\omega)|=\frac{\omega_0}{\sqrt{\omega^2+\omega_0^2}}\\ 当 $\omega\gg \omega_0$\omega\gg \omega_0 的时候，神奇的事情发生了！

$$|H(j\omega)|\approx \frac{\omega_0}{\omega}\\$$ |H(j\omega)|\approx \frac{\omega_0}{\omega}\\我们发现： $｜H(j\omega)｜$｜H(j\omega)｜ 和 $\omega$\omega 成反比！

也就是说，在某个点之后，增益和频率的乘积是一个定值，也就是我们平时所说的增益带宽积。

我们假设 $\omega_1=100kHz$\omega_1=100kHz ，增益为1000；那么当 $\omega_2=1MHz$\omega_2=1MHz 时，增益就为100。

将增益取 $20lg|H(j\omega)|$20lg|H(j\omega)| ，可以发现：当频率扩大10倍，增益从60dB变为了40dB！！

极点表示传输函数为无穷大的频率点。

极点表示的，也是一个界限：在极点之后，增益和频率的乘积是一个定值，随着频率的增大，增益相应的以-20dB/dec的速度减小！

电路意义：

电路图从肉眼观察，只要出现“岔路”，这个“岔路口”就为一个结点。

由经过诺顿和戴维宁等效后，任何线性电路都可以认为是电压源与电阻的串并联。那么从结点往前看的输出电阻就是上一级放大器的输出电阻。往后看的电容就是结点周围的寄生电容。

那么，任何对于极点的分析都退化为了对一阶RC电路的分析，且一个结点贡献一个极点！！！

二、零点

有了上面极点的理解，对于零点简直是咔咔乱杀。我们一起来看：

RC电路2：

传递函数为： $$H(s)=\frac{V_{out}(s)}{V_{in}(s)}=\frac{s}{s+\frac{1}{RC}}\\$$ H(s)=\frac{V_{out}(s)}{V_{in}(s)}=\frac{s}{s+\frac{1}{RC}}\\根据零点的定义， $s=0$s=0 是传递函数的零点。

令 $s=j\omega$s=j\omega 得到频率响应：

$$H(j\omega)=\frac{j\omega}{j\omega+\omega_z}\\$$ H(j\omega)=\frac{j\omega}{j\omega+\omega_z}\\幅值为： $$|H(j\omega)|=\frac{\omega}{\sqrt{\omega^2+\omega_z^2}}\\$$ |H(j\omega)|=\frac{\omega}{\sqrt{\omega^2+\omega_z^2}}\\ 当$\omega$\omega很小的时候： $$|H(j\omega)|=\frac{\omega}{\omega_z}\\$$ |H(j\omega)|=\frac{\omega}{\omega_z}\\

也就是说，增益与频率在零点这个界限之后成正比！！

频率增加10倍，增益也跟着增加10倍，取 $20lg$20lg 之后，自然增益就增加了20dB。

到达什么时候增长停止了呢？到 $\omega_z$\omega_z 频率点之后，逐渐趋于稳定。

电路意义：

在没有加电容之前，信号只有MOS管一条通路；但是，在加上电容之后，增加了一条从输入端直接接到输出端的通路。

在低频时，由于电容隔直通交的特性，信号只能走MOS管走；

但高频时，信号从电容走比从走MOS管走容易得多，因此大多数信号就从MOS管手里抽走了。

当 $\omega=\omega_z$\omega=\omega_z 时，前馈通路和主通路的电流值相等，但流向相反，相互抵消。从而在输出端“看不到”电压了！

在这之后，前馈通路的电流越来越多，主通路的电流越来越小。

三、小结

1. 零点和极点表示的是一个界限：

(a)经过零点后，增益以20dB/dec增加；

(b)经过极点后，增益以-20dB/dec降低。

2. 零点带有的是高通特性，极点带有的是低通特性。

3. 极点和零点并不代表截止频率。

（a）对于极点来说，截止频率和极点频率相等，在截止频率之后增益出现-20dB/dec的降低；

（b）对于零点来说，截止频率和零点频率往往不等，在截止频率之前增益保持20dB/dec的提升，在截止频率之后保持稳定。

4. 所谓设计模拟电路，实际上设计的就是极点和零点的位置。极点之后降低，零点之后升高，从而通过控制电路参数，可以得到我们想要的信号波形！！

5. 看到这还不点个赞？？！XD