1926年，建筑艺术学家埃舍尔 (M.C. Escher) 第一次踏进了位于西班牙格拉纳达省的阿尔罕布拉宫（Alhambra Palace），宫殿墙壁上那些镶嵌整齐的图案很快引起了这位刚毕业的艺术生的注意：
这些错落有致的图案给人以一种对称美感. 于是这引发埃舍尔思考：如何构造出更多具有这种对称美感的镶嵌图案呢？
尽管“美感”是一个抽象的艺术概念，对称美感却可以用数学理性地描述.
对于对称性的研究引出了一个数学理论的诞生——群论 (group theory). 对于阿尔罕布拉宫内的那些镶嵌图案的对称美感，我们可以用一些对称群 G 来刻画，它们被称为壁画群（wallpaper group）, 每一个壁画群的同构类都代表了一种 "对称美感". 而神奇的事情是：
——美，是可以被分类的.
早在1891年，俄国晶体学家费奥多罗夫（Евграф Степанович Фёдоров）就给出了这个分类：壁画群的同构类只有17种！因此，在一面镶嵌了不同图案的墙上，你一共可以欣赏到17种不同的美！
事实上，这个源自艺术的数学问题不仅有对艺术的意义，它对数自身也有意义：壁画群的分类决定了一类非常重要的几何对象的拓扑分类——欧几里得轨形 (Euclidean orbifold).
那么费奥多罗夫是怎么做到的呢？又有哪17种呢？
为解答这个问题，我们要先把问题给严格数学化.
在欧几里得几何学中，一个平面周期镶嵌，或者叫平面的周期密铺（periodic tesselation of \Bbb{R}^2 ）是指一组可数多个形状一样的闭集 \{T_i\}_{i\in \Lambda} , 它们被称为瓦片（tile），它们两两只在边界处相交并且并在一起构成了整个平面： \bigcup_i T_i=\Bbb{R}^2 .
比如下图的罗马菱形马赛克就是一个周期镶嵌，瓦片就是一些正六边形:
还有一些非对称瓦片的例子：
周期镶嵌的图案（pattern) \mathcal{P} 是指每一块瓦片内部的一个分块和对每一个分块的染色，比如上述菱形马赛克镶嵌中，就是将每一个正六边形给分成3个小的菱形，并且每个菱形染上不同的颜色.
一个图案被称为周期的（repeating pattern）或者叫壁画图案（wallpaper pattern）, 如果该图案在两个不同方向 v_1,v_2 的周期平移下保持不变. 比如罗马菱形马赛克镶嵌中，它的图案就是一个壁画图案——它在沿着 v_1=\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right) 和 v_2=\left(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}\right) 两个方向的单位平移下保持不变（即在群 \Bbb{Z}\langle v_1\rangle\oplus\Bbb{Z}\langle v_2\rangle 下保持不变）：
因此，如果 \Bbb{R}^2 中有一个带有壁画图案的周期镶嵌 (\{T_i\}_i,\mathcal{P}) ，我们就可以定义它的壁画群 G ——瓦片上的图案 \mathcal{P} 在群 G 的作用下会保持不变. 因此壁画群就从数学上刻画了这些镶嵌图案的对称美感.
显然，壁画群 G 应该是2维平面的欧几里得群的一个子群： G\subset \text{E}(2)\cong\text{O}(2)\ltimes\Bbb{R}^2\\ 而欧氏群包括了4种对称作用：来自正交群 \mathrm{O}(2) 的旋转和反射，来自加法群 \Bbb{R}^2 的平移，以及平移和反射的组合——滑动反射（glide reflection）. 因此壁画群 G 也包含了上述4种对称作用.
由半直积的性质，不难知道往 \text{O}(2) 分量的投影 \pi: \text{E}(2)\longrightarrow\mathrm{O}(2) 是一个满群同态，并且 \ker\pi 就是平移构成的子群，我们将 \pi(G):=J 称为壁画群的点群 (point group)，这是一个有限群. 而 (\ker\pi)\cap G:=L , 称为壁画群的平移子群，它是一个格子 \Lambda=\Bbb{Z}\langle v_1,v_2\rangle 关于加法构成的群，也成为格子群（lattice group）. 因此壁画群的结构就形如一个离散群半直积上一个格子群： J\ltimes L .
我们可以先计算一些简单的例子，比如对于没有内部图案的菱形马赛克镶嵌图——即一个正六边形的蜂巢镶嵌：
它的点群就是正6边形的对称群，即二面体群 D_6 ，在 \text{O}(2) 中的生成元为矩阵 \begin{pmatrix}1 & 0\\0 &-1 \end{pmatrix} 和 \begin{pmatrix} \cos\frac{\pi}{3}& -\sin\frac{\pi}{3}\\ \sin\frac{\pi}{3} &\cos\frac{\pi}{3} \end{pmatrix} . 另一个不那么平凡的例子是如下图案：
它的壁画群的对称作用包括沿着 (1,0) 和 (0,2) 两个方向的平移，以及一个滑动反射： (x,y)\mapsto (-x,y+1) ，因此点群是 \Bbb{Z}_2 (滑动反射的 \text{O}(2) 分量就是反射 -\text{I} ), 而整个壁画群同构于 \Bbb{Z}_2\ltimes (\Bbb{Z}\oplus 2\Bbb{Z}) , 其中点群中的非平凡元对格子的作用按照矩阵 \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} 的乘法.
那么随便一个有限群 J\subset \mathrm{O}(2) 半直积上一个格子群 L 都可以是某一个镶嵌图案的壁画群吗？
答案显然是未必. 因为 J 对格子群 L 还有一个作用，因此 J 还必须落在格子的自同构群 \mathrm{Aut}(\Lambda) 里，这就大大限制了点群的可能性.
那么这种限制是什么呢？
首先，旋转0°或180°都可以把任意格子转到自身. 那么其它角度呢？对于任意一个格子内的点 \mathbf{p}\in\Lambda , 如果它旋转了某个角度 \theta 后还是一个格子点，那么持续旋转下去之后，它必然会在有限次内会回到 \mathbf{p} （若能一直转下去的话，旋转的轨道在圆周中稠密，但格子是离散的，因此矛盾）. 我们不妨假定转了 n 次回到 \mathbf{p} 点，因此连接每次旋转所到达的点，就得到了一个正 n 边形，而格点铺满了整个平面，于是这个正 n 边形也铺满了平面，然而小学的几何学知识告诉我，能铺满平面的正多边形只有 n=3,4,6 这三种，这是因为当铺满时，每个点周边都有 m 个多边形，而正多边形的内角为 \frac{(n-2)}{n}\pi , 于是必然有 \frac{m(n-2)}{n}=2 , 整数解只有3组.
这种现象被称为晶体学限制性定理：
Crystallographic Restriction Theorem：一个壁画群的点群 J\subset\text{O}(2) 所包含的非平凡旋转作用的阶数只能是2阶，3阶，4阶或6阶，它们对应的旋转角度分别为 \pi , \frac{2\pi}{3} , \frac{\pi}{2} 和 \frac{\pi}{3} . \color{orange}\clubsuit
于是分类镶嵌图案的对称美感的问题就变成了一个代数问题：
分类所有形如 G=J\ltimes L\subset \text{E}(2) 的离散群，其中 J 符合晶体学限制性定理.
在现代拓扑学的帮助下，这个问题其实很容易解决.
考虑平面商掉壁画群作用之后的商空间 X=\Bbb{R}^2/G , 这个空间不像光滑流形那样好，但也不至于太差——它是一个轨形（orbifold）, 局部同构于 \Bbb{R}^2/J , 商空间中的坏点就来自于壁画群作用的非自由的点.
我们取壁画群中两个平移方向 v_1,v_2 所张成的一个闭平行四边形 D ，于是 D 在商映射 \pi: \Bbb{R}^2\longrightarrow \Bbb{R}^2/G 下的像就是整个轨形，因此轨形上的所有点，无论好坏，都可以在 D 上找到对应物. 这样的平行四边形被称为一个基本区域 (fundamental domain).
那么轨形上的坏点在 D 上的对应物是什么呢？
- 我们知道如果没有点群的影响，那么商空间就是 \Bbb{R}^2 商掉一个格子，即环面 \Bbb{T}^2 ，此时没有坏点.
- 而如果 D 上包含了一个点群作用的旋转中心，那么该中心局部看起来就像 \Bbb{R}^2/\Bbb{Z}_n ，拓扑上这是一个锥状的区域，因此旋转中心对应了商空间上长出的一个0维的锥状奇点（conic point），
- 同样的方法，如果 D 上可以找到一条反射的轴，而该轴在群作用下不变，因此商空间就会长出一个1维的边界（boundary）.
- 而滑动反射的轴则提供了十字帽（crosscap），它们造成了空间的不可定向性，比如莫比乌斯带和Klein瓶都是有十字帽结构的.
因此一个轨形就像是一个多面体——conic point相当于顶点，边界相当于边，而其它光滑的部分相当于面，因此点数-边数+面数就可以给出一个Euler示性数，但这里点线面的权数赋值需要一点改变——它们应当是有理数，而最后的Euler示性数也应当是有理数. 为此，我们需要引入Thurston-Conway所提出的轨形记号（orbifold notation）
- 我们用一个数字 n 表示 D 内有一个旋转阶数为 n 的旋转点，由晶体学限制性定理， n=2,3,4,6 ，这些数字的个数对应了轨形中锥状奇点的个数.
- 一个星号 * 表示 D 内有一条旋转轴，星号的个数代表了轨形中边界的个数. * 前的数字表示正常的旋转， * 后的数字表示先经过反射轴反射之后的旋转.
- 一个叉号 \times 表示 D 内有一条滑动反射轴，它的个数记录了十字帽结构出现的次数.
比如例子1的菱形马赛克镶嵌图案中，一个基本区域 D 如下所示：
它内部只有旋转点，而没有滑动反射或反射，四个顶点在轨形中只贡献1次，因此一共有3个阶数为3的旋转点，于是它的轨形符号为 333 ，对应的轨形就是带有3个锥状点的torus.
再比如例子3中的基本区域如下红笔所示：
在基本区域内部没有反射，没有旋转，只有两条滑动反射轴，因此对应的轨形只有两个十字帽结构，而没有锥状奇点或是边界，于是它的轨形记号为 \times\times , 轨形是一个Klein瓶.
Thuston-Conway定义如下加权方式：
- 每一个旋转阶数为 n 的锥状奇点（相当于顶点）赋值为 \frac{n-1}{n} ;
- 每出现一个 * 或 \times 都赋值为1；
- * 后面的一个数字 n 赋值为 \frac{n-1}{2n} .
用2 减去这些结构的加权和就定义为轨形 X=\Bbb{R}^2/G 的Euler示性数 \chi(X) . 比如例子1中， 333 的欧拉实现数就是 \chi=2-\frac{2}{3}\times 3=0 , 例子二中的轨形（Klein瓶 \times\times ）的Euler示性数为 2-(1+1)=0 .
都等于0，这是巧合吗？这是一件被 Conway 称为“魔法定理”的事情：
Conway's Magic Theorem: 一个欧几里得轨形（即形如 \Bbb{R}^2 商掉一个壁画群的轨形）的Euler示性数永远为 0 .
于是接下来就是一个排列组合的问题了：枚举出所有可能的数字和 *,\times 的组合使得它们的加权和为 2 . 事实证明它们的确只有17种，它们和用国际晶体学记号（IUCr）的对应如下表：
| IUCr记号 | p1 | pm | pg | cm | p2 | p2mg | p2mm |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 轨形记号 | o | ** | xx | *x | 2222 | 22* | *2222 |
| 轨形 | 光滑环面 | 带子（带边的圆柱面） | Klein瓶 | 带边的莫比乌斯带 | 带有4个锥状奇点 | 4个奇点一条边 | ... |
| IUCr记号 | c*mm | p3 | p3m1 | p31m | p4 | p4gm | p4mm |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 轨形记号 | 2*22 | 333 | *333 | 3*3 | 442 | 4*2 | *442 |
| IUCr记号 | p6 | p6mm | p2gg |
|---|---|---|---|
| 轨形记号 | 632 | *632 | 22x |
每一种都对应了一个壁画群，因此我们得到了费奥多罗夫的结论：
Theorem (Fedorov-Polya): 平面壁画群只有17种同构类.
意即我们能从墙壁的镶嵌图案中欣赏到的对称美一共有17种. 而阿尔罕布拉宫的艺术之处就在于：它墙内的镶嵌刚好包含了这17种不同的图案！
每一类壁画群对应的镶嵌图案可以在下方欣赏：
比如p6，或用轨形符号 632 所对应的一个镶嵌图案大概形如：
用Thuston 和Conway 的方法，我们也可以尝试分类一些非欧空间的镶嵌，比如在一个庞加莱圆盘上的镶嵌 \Bbb{D}\cong\Bbb{H}^2 , 壁画群就是 \mathrm{Isom}(\Bbb{H}^2) 中的一个离散子群.
埃舍尔从阿尔罕布拉宫离开之后，又曾多此返回这里临摹和钻研墙上的镶嵌图案. 为了设计出属于他自己的艺术作品，他查阅了大量数学文献，其中也包括双曲圆盘中的非欧式镶嵌. 他一生中的最后一幅作品《蛇》，便是他艺术追求的体现：
而源自于此的数学概念——壁画群，也在后来的科学研究中发挥了作用. 比如在化学中，对晶体的分类可以视为是 \Bbb{R}^3 中的镶嵌问题，而它们的分类依据就是壁画群的高维推广——晶体群，它们一共有230种类型需要区分. 而轨形理论也成为了现代几何拓扑学中的重要课题.
那些源自的艺术的科学让艺术变得理性，而那项科学自身也终将会演变为一种艺术.
