这里点评一下杨的论文中第三章数学模型这部分。
几天前我在交大的内部论坛里和某位不认识的同学讨论过这部分的内容。下文的部分内容来自和这位同学的讨论，这里也对这位同学表示感谢。
讨论完之后，我本来觉得这个问题挺简单的，没有特别写一个回答的必要。但是到目前为止，我发现在知乎上仍然没有人把这件事情讲明白。出于朴素的社会责任感，我决定把我对杨的数学模型的看法讲一讲。这里只点评杨的论文中第三章数学模型的部分，不涉及其他内容，也不涉及对事件本身的点评。另外说明一下，本人对经济学并不特别熟悉，如果有说得不对的地方，欢迎大家指出。
首先很多人应该看过B站up主太白金星V博士指出来的问题。
https://www.bilibili.com/video/BV1qPhWzdE2H
https://www.bilibili.com/video/BV15EhNzeE3t
我们可以看到，在杨的论文中她明确说了基于Doepke & Kindermann的论文的模型（以下简称DK模型），然后这里有一个很别扭的地方，也就是假设生育子女会带来净收益。
她的推导过程大概是在讲什么呢，是说我们假设丈夫和妻子的收入分别为 w_m 和 w_f ，如果他们一起生活，有一个“聚集效应”，导致他们的总收入实际上多了一个 \alpha 的比例，也就是多了 \alpha (w_m+w_f) 。如果丈夫不家暴，两人谈判得出的结果是均分这个收益，也就是都获得 \frac{1}{2}\alpha(w_m+w_f) 。（为什么平分？这是纳什谈判里的一个基本结论，如果不太清楚的话直接接受这个结论就行。）如果丈夫家暴的话，丈夫可以勒索妻子把收益全交出来（文中称为丈夫从妻子获得转移支付，这个假设可能有待商榷，但是文中是这么假设的），家暴损失C的效用，也就是可勒索 \frac{1}{2}\alpha(w_m+w_f)-\frac{1}{2}C 的效用（勒索得更多的话妻子就跑路了）。这里这个C由于一直是一个固定值，所以对本文的结论实际上毫无影响。
我们先看杨的模型，假定生孩子会获得一个 \varphi\geq0 的净收益，完全仿照上面的逻辑不难得出此时丈夫可以勒索的最大值为 \frac{1}{2}\alpha(w_m+w_f+\varphi)-\frac{1}{2}C ，跟之前比起来勒索值增加了，因此得出结论：生育后，丈夫从家暴中可能获得的转移支付增加，家暴发生的概率提高。
而在DK的原文里，我们可以看到他说的是生育有净支出而非净收入。
假定生育会有一个净支出 \phi\geq0 ，此时上面的结论就完全逆转过来了，也就是生育后，丈夫从家暴中可能获得的转移支付降低，家暴发生的概率降低。到目前为止是B站up主视频里的内容。
这个问题到这里就结束了吗？并非如此。实际上，对上面的说法，是有一种辩护手段的。
我们可以看到，DK模型里的效用 u=c+bv ，其中c是消费，b是是否生孩子，v表示生孩子给两人带来的额外效用（可以理解为精神上的满足感或者别的什么都行）。而在杨的模型里，这个u就被直接简化为了 u=c 。实际上，根据经济学中的理性人假设，如果生孩子只有一个支出，夫妻俩根本不会决定生孩子，这是不合理的。因此v对生孩子的行为进行了补偿。
我们可以看到，DK模型里的夫妻合作的真正效用是 u_f+u_m=(1+\alpha)(w_f+w_m-\phi b)+b(v_f+v_m)
假如我们令 \varphi=\frac{v_f+v_m}{1+\alpha}-\phi\geq0 ，则可以形式上地得到 u_f+u_m=(1+\alpha)(w_f+w_m+\varphi b) ，看起来似乎和杨的论文对上了。
（为什么有\varphi\geq0？这是理性人假设所保证的，见下图的假设1。）
到这里为止我们可以看到，杨的论文中的漏洞似乎已经被补上了，只要我们形式上地做一些符号变换，就能把DK模型给同义转化为杨的模型。然而这对吗？实际上并不对。
为什么呢？我们来看DK模型和杨模型的外部选择的公式，也就是谈判破裂时夫妻双方分别能得到的效用。
在杨模型中，我们计算夫妻双方外部选择之和可得（这里d在情形三才是1，我们现在只看情形一和情形二的问题，这个时候d=0）
\bar{u}_{f}+\bar{u}_{m}=w_f+w_m+b\varphi
而DK模型的外部选择呢？
\bar{u}_{f}+\bar{u}_{m}=w_f+w_m+b(v_f+v_m-\phi)
这里 \varphi=\frac{v_f+v_m}{1+\alpha}-\phi\ne v_f+v_m-\phi
也就是说，我们假定杨实际上没有改DK的模型，那么这个（3.3）就是错的，这里并不能通过符号变换的方法圆回来。
我们采用正确的DK模型进行推导会怎么样呢？
\bar{u}_{f}+\bar{u}_{m}=w_f+w_m+b(v_f+v_m-\phi)
u_f+u_m=(1+\alpha)(w_f+w_m-\phi b)+b(v_f+v_m)
通过把合作时的总效用减去不合作时的总效用，我们可以看到合作多出的效用为 \alpha(w_f+w_m-\phi b) ，丈夫家暴的转移支付就是这个数减去C的一半，可以看到生育会导致这个数降低，从而导致丈夫从家暴中可能获得的转移支付降低，家暴发生的概率降低。
到这里我们已经可以看出来，杨之所以要在原论文中采取这种混淆“效用”“消费”概念的写法，并且留下看起来很奇怪的正负号变化，实属两害相权取其轻的无奈之举，因为不这么做的话的出来的结论和她想要的那个仍然是相反的。
到目前为止DK论文和杨论文的问题就说完了。下面还有些额外的思考，就是能否通过对DK模型加一些修正，得出我们想要的“生育会导致家暴概率增加”结论呢？这里那位交大同学给出了一种思路，也就是我们认为v在谈判成功和谈判失败的时候实际上是会变化的。在夫妻关系破裂的时候，夫妻从孩子里享受到的效用很可能也会大打折扣，也就是说外部选择里的这个v可能会小于合作成功的v。如果我们再做一些数值上的假设，是可以得出我们想要的结论的。不过这些内容在杨的论文里并没有体现，所以单评价杨论文里这部分内容的话，我认为还是不合格的。