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谢邀，第一个问题：刘川理论力学P26页式（2.21）是怎么来的?

粒子的作用量为可能轨迹的泛函。换句话说，给定一条世界线，我们需要给一个数。而且这个数，必须是不依赖于观测者的。对于自由粒子，我们能够找到的唯一的满足这个条件的数就是世界线的长度。因氏时空中世界线上的线元（洛伦兹标量）为

$ds^2 = \eta_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu$

这里 $\eta_{\mu\nu}$ 为因氏度规。欧氏时空中的线元总是正的，但是因氏时空中的线元可以是正的，也可以是负的，甚至可以为零。考虑一个做惯性运动的有质量的粒子，在固定在自身的惯性系看来是静止不动的，即空间坐标不变 $dx^1 = dx^2 = dx^3 = 0$ ，因此线元 $ds^2 = -c^2 dt^2 < 0\$ ，即有质量粒子世界线上的线元恒为负。因此，线元的长度就只能写成 $|ds| \equiv \sqrt{-ds^2}$ 。所以，自由粒子的作用量最简单的取法即

$S = -mc \int |ds| = -mc \int \sqrt{-\eta_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu}$

这里 $m\$ 为粒子的质量， $c$ 为光速。在这个式子中，因子 $mc$ 是为了让作用量具有“正确”的量纲（即 [空间]、[动量]），负号是为了在非相对论极限下和牛顿力学的结果自洽，就是因氏时空中一个自由粒子的作用量，简言之，自由粒子的作用量正比于其世界线的长度。这里我们看到，从时空的洛伦兹不变性出发，我们几乎可以唯一地确定出一个自由